Espaces fonctionnels
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car, si f(x) ;;?: y(x), le sup c'est f(x), l'inf c'est y(x), dans ce cas
lf(x) - y(x)I = f(x) - y(x), le résultat est vrai, on vérifierait de même
le cas f(x) < y(x).
Mais alors, sup(f,y) = ~(!+y+ If - yi) est continue si f et y le
sont, ainsi que inf (f, y). De plus ces formules vont nous donner le résultat
suivant:
THÉORÈME 12.57. - Une algèbre fermée de C 0 (X, IR) est réticulée, (X
compact).
Il suffit pour cela de vérifier que, si f et y sont dans A, la fonction
If - YI y sera, et nos polynômes Pn du théorème 12.54 vont servir.
La fonction f - y est continue sur X compact, donc 11/ - YI loo existe,
et alors, Vx EX, 1 ~ft-=-~I~~ 1 ~ 1, si Il/- Ylloo =F O. Mais si If - YI= 0
la fonction f - y, nulle, est dans l'algèbre.
Comme Ve> 0, 3no, Vn;;?: no, Vt E [-1, l],
e
lit! - Pn(t)i ~ Il/_ Ylloo, on aura,
Vx EX 11/(x) - y(x)I - Pn (!(x) - y(x)) 1 ~
e
'
Il/ - Ylloo
Il/- Ylloo
Il/- Ylloo
soit, en multipliant par 11/ - YI loo. et en notant hn la fonction de l'algèbre
, .
(f(x) - y(x))
A definie par hn(x) =Il/- YllooPn Il/_ Ylloo •on a:
Ve> 0, 3no EN, Vn;;?: noll If- YI - hnlloo ~ e
la fonction If - YI est dans l'adhérence de A supposée fermée, donc dans
;A.
•
Encore un petit pas.
THÉORÈME 12.58. - Soit A une partie réticulée de C 0 (X, R), normée par
la norme de la convergence uniforme. Ç>n aura f de C 0 (X, IR) adhérente à
A si et seulement si V{x, y} C X, Ve> 0, 3y E A. ly(x) - f(x)I < e et
iy(y) - J(y)I < e.
On ramène en quelque sorte la convergence uniforme à la convergence
sur les paires d'éléments de E.