1 OO
Analyse fonctionnelle
Il est évident que (f E A) ::::} (3g E A, Il! - glloo < e), donc la
condition sur les paires est vérifiée.
Réciproquement soit f E A vérifiant la condition sur les paires. On fixe
donc e > 0 et à chaque paire { x, y} de X on associe 9xy E A, vérifiant
f(;c) - e < 9xy(x) < f(x) + e et f(y) - e < 9xy(y) < f(y) + e.
Comme 9xy et f sont continues, l'ensemble Wx,y des z de X tels que
9xy(z) < f(z) + e est un ouvert contenant x et y, car c'est l'image
réciproque de] - oo, e[ par 9xy - f.
On a, pour x fixé,
LJ Wx,y = X, et de ce recouvrement ouvert
yEX-{x}
de X compact on extrait un sous-recouvrement fini, associé aux éléments
YI, ... , Yn. (noter que x est dans chaque Wx,y).
Comme A est réticulée 9x = inf {gx,y,; i = 1 ... , n} est dans la partie
A, de plus, \1'z de X on a 9x(z) < f (z) + e, car 3i ~ n tel que z E Wx,y,
et alors 9x(z) ~ 9x,y,(z) < f(z) + e vu la définition de Wx,y•·
Enfin, pour chaque i ~ n, on a 9x,yi(x) > f(x) - e, comme 9x(x) est
l'un des 9x,y.(x), on a 9x(x) > f(x) - e.
La fonction 9x étant continue, on peut introduire l'ouvert Ox =
{t E X; 9x(t) > f(t) - e} : c'est un ouvert de X contenant x et du
p
recouvrement X = LJ Ox on extrait un recouvrement fini X = LJ nx •.
xEX
i=l
Soit enfin g = sup{gxii i = 1 ... p}. C'est un élément de la partie
réticulée A, pour tout t de X, il existe i ~ p tel que t E Ox, donc
g(t) ~ 9xi(t) > f(t)-e; et comme pour chaque Xi on a 9xi(t) < f(t) +e,
g(t) qui est l'un des 9xi (t) vérifie aussi g(t) < f(t) + e.
On a finalement trouvé g dans A avec Il! - glloo ~ e, donc f est
adhérent à A.
•
Si vous suivez toujours, encore un petit pas et nous découvrirons Stone
Weierstrass.
DÉFINITION 12.59. - On dit qu'une partie A de C 0 (X, IR) sépare les points
si, \1'(x,y) E X 2 , X =f y, 3h E .A. h(x) =f h(y).
THÉORÈME 12.60. - Si une algèbre A de C 0 (X, R) sépare les points, et
si \1'x EX, 3h E .A. h(x) =f 0, alors pour toute paire {x,y} de X,
\if E C 0 (X,IR), Ve> 0, 3g E Aavec lf(x)-g(x)I < eet f(y)-g(y)I < e.