Espaces fonctionnels
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ê
Car on va chercher g dans l'algèbre A, telle que g(x) = f(x) + 2 =a
ê
et g(y) = f(y) + 2 = /3, en cherchant d'abord g sous la forme d'une
combinaison linéaire de h et h 2 , avec h E A telle que h(x) =F h(y).
On cherche donc 2 réels u et v tels que :
{ uh(x) + vh 2 (x) =a
uh(y) + vh 2 (y) = f3
Ce système linéaire en u et v aura une solution si son déterminant
h(x)h 2 (y)-h(y)h 2 (x) est non nul, soit si h(x)h(y)(h(y)-h(x)) =F O. On
a déjà h(y) - h(x) =F 0 mais il se peut que h(x) ou h(y) soit nul.
Supposons h(x) = 0, on sait qu'il existe k dans A vérifiant k(x) =F 0,
on va donc remplacer h par une fonction h + >..k = h1. >..réel choisi pour
que h1(x)h1(y)(h1(Y) - h1(x)) =F 0 cette fois.
Or h1(x) = h(x) + >..k(x) = >..k(x) est =F 0 si>.. =F 0, car h(x) =F O;
h1 (y) = h(y) + >..k(y) =/:- 0 si >.. =/:- - ~~: ~ lorsque k(y) =/:- 0 et c'est toujours
=/:- 0 si k(y) = 0 car alors h1(y) = h(y) =/:- h(x) = O; enfin on a
h1(x) - h1(y) = h(x) - h(y) + >..(k(x) - k(y))
avec h(x) - h(y) =/:-O. Donc si k(x) - k(y) = 0, on a toujours
h1(x) - h1(Y) =F 0, et si k(x) - k(y) =F 0, il suffit d'avoir
h(x) - h(y)
.
>.. =/:- - k(x) _ k(y) pour avoir h1(x) - h1(y) =/:-O.
En faisant le compte, on élimine 1, 2 ou 3 réels : il reste des >.. et
finalement on peut trouver h 1 qui remplace h et résoudre le système initial
et trouver g dans A qui approche f à ê près en x et y.
•
Il nous reste à passer au théorème de Stone Weierstrass proprement
dit, qui va découler de tout le travail précédent.
THÉORÈME 12.61. (de Stone Weierstrass). - Soit X topologique compact,
et E = C 0 (X, IR) l'espace vectoriel normé par la norme de la convergence
uniforme. Si A est une algèbre de E qui sépare les points, et telle que
'Vx EX, 3f E A, avec f(x) =/:- 0, alors A= E.
En effet, soit B l'adhérence de A dans E, comme AC B, B sépare les
points; 'Vx EX, 3f E B, f(x) =F O. Si on prouve que Best une algèbre de
E, le Théorème 12.60 s'appliquera et donc sur toute paire { x, y} de X 2
on approchera les éléments de E par ceux de B.
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Car on va chercher g dans l'algèbre A, telle que g(x) = f(x) + 2 =a
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et g(y) = f(y) + 2 = /3, en cherchant d'abord g sous la forme d'une
combinaison linéaire de h et h 2 , avec h E A telle que h(x) =F h(y).
On cherche donc 2 réels u et v tels que :
{ uh(x) + vh 2 (x) =a
uh(y) + vh 2 (y) = f3
Ce système linéaire en u et v aura une solution si son déterminant
h(x)h 2 (y)-h(y)h 2 (x) est non nul, soit si h(x)h(y)(h(y)-h(x)) =F O. On
a déjà h(y) - h(x) =F 0 mais il se peut que h(x) ou h(y) soit nul.
Supposons h(x) = 0, on sait qu'il existe k dans A vérifiant k(x) =F 0,
on va donc remplacer h par une fonction h + >..k = h1. >..réel choisi pour
que h1(x)h1(y)(h1(Y) - h1(x)) =F 0 cette fois.
Or h1(x) = h(x) + >..k(x) = >..k(x) est =F 0 si>.. =F 0, car h(x) =F O;
h1 (y) = h(y) + >..k(y) =/:- 0 si >.. =/:- - ~~: ~ lorsque k(y) =/:- 0 et c'est toujours
=/:- 0 si k(y) = 0 car alors h1(y) = h(y) =/:- h(x) = O; enfin on a
h1(x) - h1(y) = h(x) - h(y) + >..(k(x) - k(y))
avec h(x) - h(y) =/:-O. Donc si k(x) - k(y) = 0, on a toujours
h1(x) - h1(Y) =F 0, et si k(x) - k(y) =F 0, il suffit d'avoir
h(x) - h(y)
.
>.. =/:- - k(x) _ k(y) pour avoir h1(x) - h1(y) =/:-O.
En faisant le compte, on élimine 1, 2 ou 3 réels : il reste des >.. et
finalement on peut trouver h 1 qui remplace h et résoudre le système initial
et trouver g dans A qui approche f à ê près en x et y.
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Il nous reste à passer au théorème de Stone Weierstrass proprement
dit, qui va découler de tout le travail précédent.
THÉORÈME 12.61. (de Stone Weierstrass). - Soit X topologique compact,
et E = C 0 (X, IR) l'espace vectoriel normé par la norme de la convergence
uniforme. Si A est une algèbre de E qui sépare les points, et telle que
'Vx EX, 3f E A, avec f(x) =/:- 0, alors A= E.
En effet, soit B l'adhérence de A dans E, comme AC B, B sépare les
points; 'Vx EX, 3f E B, f(x) =F O. Si on prouve que Best une algèbre de
E, le Théorème 12.60 s'appliquera et donc sur toute paire { x, y} de X 2
on approchera les éléments de E par ceux de B.