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Analyse fonctionnelle
Comme Best une algèbre, (on va le prouver) fermée, donc réticulée
(Théorème 12.57), et que les deux conditions du Théorème 12.58 sont
vérifiées, l'adhérence de B sera E.
Or, (suprême astuce), B = A donc B = A = A : on aura bien le
résultat.
En somme, la démonstration de Stone Weierstrass consiste à justifier
que l'adhérence d'une algèbre, B = A, en est une.
La continuité de l'addition et du produit par un scalaire, prouvent que
si (f,g) E B 2 , avec (/n)nEN et (gn)nEN suites de A qui convergent vers
f et g respectivement, on a
lim Un+ 9n) = f + g et lim >.f n = >.f,
n-++oo
n->+oo
(V>. E IR), donc B est sous-espace vectoriel ; puis les f n9n de A vont
converger vers f g car
llfg - fn9nlloo ~Il(! - fn)Ylloo + llfn(9 - 9n)lloo
~ llYlloollf - fnlloo + llfnllooll9 - 9nlloo
et la suite (/n)nEN étant convergente est bornée, donc le majorant tend
vers 0: on a bien fg dans B =A.
•
COROLLAIRE 12.62. - Si une algèbre de C 0 (X, IR) sépare les points et
contient les fonctions constantes elle est partout dense dans C 0 (X, IR), X
compact.
Car alors, l'algèbre A sépare les points et la fonction constante égale
à 1 est non nulle en chaque x de X.
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COROLLAIRE 12.63. - Tuute fonction continue de [a, b] dans IR est limite
uniforme d'une suite de polynômes.
Car [a, b] est compact, et l'algèbre A des fonctions polynômes contient
les constantes, et la fonction monôme x ..,.. x sépare les points. Donc
A= C 0 ([a, b], IR).
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COROLLAIRE 12.64. - L'algèbre des fonctions polynômes à n variables est
partout dense dans C 0 (K, Rn), avec K compact de !Rn, pour la norme de
la convergence uniforme.
Car là encore, c'est une algèbre qui sépare les points, (si a =
ai, ... , an) et b = ({31, ... , f3n) sont distincts, il existe une coordonnée