Espaces fonctionnels
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distincte: si ai =f=. !3i la fonction (xi, ... , Xn) ~Xi sépare a et b de K) et
qui contient les constantes.
•
Passons maintenant au cas des fonctions à valeurs complexes. On a :
COROLLAIRE 12.65. - Soit X compact, A une algèbre de C 0 (X, C) qui
sépare les points de X, telle que Vx E X, 3/ E A. f(x) =f=. 0, et telle que
Vg E A. g E A Alors l'algèbre A est partout dense dans C 0 (X, C).
On introduit B = AnC 0 (X, IR). Si f E A, en notant u et v les fonctions
partie réelle et partie imaginaire de f, on a f = u + iv et f = u - iv dans
A, algèbre, donc u = f ; f et v = f ~ f sont dans A, à valeurs réelles,
donc dans B.
Six =f=. y, avec f E A telle que f(x) =f=. f(y), on a soit u(x) =f=. u(y) soit
v(x) =f=. v(y) : de toute façon il existe un élément de B qui sépare x et y.
De même, pour x EX, si f de A est telle que f(x) =f=. 0 on a u(x) =f=. 0
ou v(x) =f=. 0 avec là encore u et v dans B. Enfin Best sous algèbre de
C 0 (X, IR) donc B = C 0 (X, IR).
Mais alors, si f = u + iv E C 0 (X, C), Ve > 0, il existe g et
1
1
h dans B telles que llu - Ylloo ~ 2 et llv - hlloo ~ 2 mais alors
ll(u + iv) - (g + ih)lloo ~ 1, avec en fait g et h dans A, algèbre sur
C, donc g + ih E A : on a bien dans A des éléments arbitrairement
proches de f = u + iv quelconque de C 0 (X, C).
•
COROLLAIRE 12.66. - L'algèbre A des polynômes trigonométriques est
partout dense dans E ensemble des fonctions continues, 27!" périodiques,
de IR dans C, pour la norme de la convergence uniforme.
Là il y a un peu de travail.
D'abord les polynômes trigonométriques sont les fonctions du type
q
12.66.bis X~ L aneinx; (p, q) E 1 2 , p ~ q, les an étant complexes.
n=p
Ensuite E est encore l'ensemble des fonctions continues de [O, 27r]
compact, dans C, prenant la même valeur en 0 et 27!".
Si on note A l'algèbre des fonctions polynômes trigonométriques restreintes à [O, 27r], A est stable par passage au conjugué, elle contient la
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distincte: si ai =f=. !3i la fonction (xi, ... , Xn) ~Xi sépare a et b de K) et
qui contient les constantes.
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Passons maintenant au cas des fonctions à valeurs complexes. On a :
COROLLAIRE 12.65. - Soit X compact, A une algèbre de C 0 (X, C) qui
sépare les points de X, telle que Vx E X, 3/ E A. f(x) =f=. 0, et telle que
Vg E A. g E A Alors l'algèbre A est partout dense dans C 0 (X, C).
On introduit B = AnC 0 (X, IR). Si f E A, en notant u et v les fonctions
partie réelle et partie imaginaire de f, on a f = u + iv et f = u - iv dans
A, algèbre, donc u = f ; f et v = f ~ f sont dans A, à valeurs réelles,
donc dans B.
Six =f=. y, avec f E A telle que f(x) =f=. f(y), on a soit u(x) =f=. u(y) soit
v(x) =f=. v(y) : de toute façon il existe un élément de B qui sépare x et y.
De même, pour x EX, si f de A est telle que f(x) =f=. 0 on a u(x) =f=. 0
ou v(x) =f=. 0 avec là encore u et v dans B. Enfin Best sous algèbre de
C 0 (X, IR) donc B = C 0 (X, IR).
Mais alors, si f = u + iv E C 0 (X, C), Ve > 0, il existe g et
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h dans B telles que llu - Ylloo ~ 2 et llv - hlloo ~ 2 mais alors
ll(u + iv) - (g + ih)lloo ~ 1, avec en fait g et h dans A, algèbre sur
C, donc g + ih E A : on a bien dans A des éléments arbitrairement
proches de f = u + iv quelconque de C 0 (X, C).
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COROLLAIRE 12.66. - L'algèbre A des polynômes trigonométriques est
partout dense dans E ensemble des fonctions continues, 27!" périodiques,
de IR dans C, pour la norme de la convergence uniforme.
Là il y a un peu de travail.
D'abord les polynômes trigonométriques sont les fonctions du type
q
12.66.bis X~ L aneinx; (p, q) E 1 2 , p ~ q, les an étant complexes.
n=p
Ensuite E est encore l'ensemble des fonctions continues de [O, 27r]
compact, dans C, prenant la même valeur en 0 et 27!".
Si on note A l'algèbre des fonctions polynômes trigonométriques restreintes à [O, 27r], A est stable par passage au conjugué, elle contient la