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Analyse fonctionnelle
fonction 1, (= eiOx .. . ), enfin pour x =fa y dans [O, 271"], soit le cosinus
soit le sinus seront différents sauf ... si { x, y} = {O, 271" }. Comme cos t =
eit + e-it
eit _ e-it
2
et sin t = 2 i , on a des fonctions cosinus et sinus de
l'algèbre A qui séparent les paires { x, y} sauf la paire {O, 271" }.
On pourrait appliquer le Corollaire 12.65 s'il n'y avait pas cette paire!
Mais on peut car on cherche la densité non pas dans C 0 ([0, 271"], C) mais
dans E où les fonctions prennent la même valeur en 0 et 271". C'est bien
fait, non?
Or on avait besoin de séparer 0 et 271", (voir Théorème 12.60) pour
trouver, f E E étant donnée, g dans A proche de f en 0 et en 271". Ici, si le
travail est fait en 0, il l'est par périodicité en 271". Or la fonction constante
égale à /(0) approche f à e près en 0 et 271". C'est gagné et on a ce corollaire
qui sera utilisé au chapitre 15 sur les séries de Fourier.
5. Fonctions définies par des intégrales
Je n'ai pas l'intention de faire une étude fouillée de ce problème, aussi
me contenterai-je de donner les résultats utiles à l'étude de ces questions.
THÉORÈME 12.67. - Soit f intégrable de [a, b] dans E espace de Banach.
La fonction F : x ~ 1x f (t)dt est continue sur [a, b].
Le résultat est valable, que f soit réglée, ou Riemann intégrable dans
le cas de E =IR, car dans les deux cas f est bornée sur [a, b].
On a alors,
llF(x) - F(x')ll ~ lix' 11/llool =lx - x'l 11/lloo
donc Fest 11/lloo Lipschitzienne.
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THÉORÈME 12.68. - Si f est continue de [a, b] dans E, Banach, la fonction
F: x ~ 1x f(t)dt est dérivable sur [a, b] de dérivée F' = f.