Espaces fonctionnels
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En effet, pour h ' #- 0 tel que le segment d'extrémités x et x + h soit
dans [a, b], on a
F(x + h~ - F(x) - f(x) = ~ lx+h (f(t) - f(x))dt.
Or,
Vë > 0, 3a > 0, lt - xi ~a, (et t E [a, b]) => llf(t) - f(x)ll ~ ë,
d'où, si lhl < a,
donc lim F(x + h~ - F(x) = f(x), et le résultat, avec bien sûr une
h-+O
h#O
restriction en h > 0 si x = a, ou h < 0 si x = b.
•
Il résulte de ces deux résultats, que, si on se donne u et v deux
fonctions définies sur un intervalle I de IR, à valeurs dans [a, b], et que
l'on considère la fonction G définie par
12.69.
G(x) = 1v(x) f(t)dt
u(x)
avec f réglée de [a, b] dans E, Banach, ouf Riemann intégrable, on aura :
Si u et v sont continues, G est continue et si f est continue et u et v
dérivables, G sera dérivable et on aura l'égalité
G'(x) = f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x).
En effet, avec les notations précédentes, on a G = F o v - Fou, et on
applique ensuite les théorèmes de composition des applications.
•
Passons à une autre situation.
THÉORÈME 12.70. - Soit I un intervalle de R, f : I x [a, b] t--t IR une
fonction continue, la fonction x ~ F(x) = lb f(x, t)dt est continue sur
l'intervalle I.