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Analyse fonctionnelle
On peut en fait remplacer I par une partie de E ~ Rn, et IR à l'arrivée
par F espace vectoriel normé aussi, ce que nous ferons. D'abord, f étant
continue, il y a a fortiori continuité partielle donc pour chaque x fixé,
t ~ f(x, t) est continue donc intégrable, d'où l'existence de F.
Puis soit xo E I, V ( xo) un voisinage compact de xo dans I (si
I = [u, v], et xo = u, ce peut être V(xo) = [u, u + a] avec a > 0
par exemple ... ) un tel voisinage compact existe aussi dans !Rn.
La fonction f est continue sur V(xo) x [a, b] compact, donc uniformément continue. Alors Vé > 0, 3a > 0, V(x, t) et V(x', t') de
V(xo) x [a, b], si d( 00 )((x, t), (x', t')) ~a, on a:
11/(x, t) - f(x', t')ll ~ b ~a.
A fortiori, avec x = xo, t quelconque, x' tel que llx-xoll ~a et t' = t,
on aura 11/(xo, t) - f(x, t)ll ~ b ~a d'où
f b
f b é
llF(xo) - F(x)ll ~la llf(xo, t) - f(x, t)lldt ~la b- a dt= é,
d'où la continuité de F.
•
On comprend bien que les hypothèses sont trop fortes : une continuité
partielle en x, uniforme en t suffi.rait.
Etude de la dérivation
Soyons raisonnables. Si I est une partie de E ~ !Rn, et si f est définie
sur I x [a, b], ce n'est pas une dérivation en x qui interviendra, mais une
différentiabilité, et il faudra attendre d'avoir étudié cette notion avant
d'en parler. Aussi vais-je revenir au cas de I intervalle de R
THÉORÈME 12.71. - Soit I un intervalle de R, f : IR x [a, b] i--t IR une
âf
fonction continue telle que pour tout t de [a, b] et tout x de I, âx (x, t)
existe, et que :~ soit continue sur I x [a, b]. Alors la fonction
x ~ F(x) =lb f(x, t)dt est dérivable et F'(x) =lb:~ (x, t)dt.
Comme nous le verrons les hypothèses sont trop fortes, mais ce n'est
ni le jour ni l'heure d'en débattre.