Espaces fonctionnels
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La continuité de f implique l'existence de F, la continuité de :~ donne
la continuité partielle, donc pour x fixé, 1b :~ (x, t)dt existe. Formons la
quantité, pour h =F 0 tel que xo et xo + h soient dans J,
A(h) = F(xo + h) - F(xo) _ F'(xo)
h
=1b(f(xo+h,t)-f(xo,t) _ af(
))d
a
h
ax xo,t
t.
Pour t fixé, x ~ f(x, t) est continue, dérivable, on lui applique les
accroissements finis entre xo et xo + h: il existe 8(t, h) dans [O, 1] tel que
ah
f(xo + h, t) - f(xo, t) = h ax (xo + 8(t, h)h, t)
d'où
1
b (af
at
)
A(h) = a ax (xo + 8(t, h)h, t) - ax (xo, t) dt.
Comme dans le Théorème 12. 70 avec V ( xo) voisinage compact de xo
contenu dans J, la continuité de :~ sur V(xo) x [a, b] est uniforme, donc
(' 0), (3a: > 0), (d(oo)((x, t), (x', t'))) :::;;; a:=>
l
at( ) af( , ' )I é
ax X, t - ax X 't :::;;; (b - a).
On impose lhl : : : ; ; ; a:, on prend x = xo et x' = xo + 8(t, h)h, t' = t, il
vient IA(h)I:::;;; l!-b é = é, d'où la dérivabilité de F et le résultat. •
-a
Extension de ces résultats aux intégrales impropres
Quand on doit étudier une fonction définie par une relation du type
F(x) = 1: 00 f(x, t)dt, pour x dans I intervalle de R, (ou partie de Rn),
f fonction de I x [a, +oo[ dans R, (ou dans un Banach E), la technique la
plus simple consiste, après avoir justifié la convergence, à introduire les
fonctions Fn(x) = l: f(x, t)dt, puis à appliquer les Théorèmes 12.70 et
12.71, si on peut, pour conclure à une éventuelle continuité ou dérivabilité