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Analyse fonctionnelle
des Fn, et voir enfin si la convergence des Fn vers Fest uniforme, ainsi,
en cas de dérivation, que celle des F~ ( x) vers leur limite, pour appliquer
les théorèmes de continuité ou de dérivabilité d'une limite, (Théorèmes
12. 7 et 12.22).
Dans le cas d'une intégrale impropre Lb f(x, t)dt, avec f définie sur
1
+00
I x [a, b[ ou Ix]a, b[ ... ou même pour a
f(x, t) avec f définie sur
Ix]a, +oo[, le même raisonnement s'applique à partir des fonctions Fn
1 b-. !
1b-.! 1n
avec Fn(x) =
"' f(x, t)dt, ou=
",ou
... après justification
a
*!
*!
des convergences.
Ce paragraphe laisse une impression d'inachevé. C'est parce qu'il
manque en fait une théorie sérieuse de l'intégrale, qui permettrait de
traiter correctement ces questions. Mais alors cet ouvrage n'aurait plus de
bornes et deviendrait un roman feuilleton à je ne sais combien d'épisodes.
Vous verrez Lebesgue ailleurs, et mieux que je ne saurais le faire.
1.
2.
3.
4.
EXERCICES
1
1 tn -t2n
Etudier lim
1
dt.
n-++oo o
- t
Soit fn définie par fn(t) = 2 ;
et g continue de [a, b] dans R.
nt + 1
.
1 1b
Déterminer lim -
fn(t)g(t)dt.
n-++oo 7l' a
OO
Domaine de définition, continuité et limite en 0 de L e-xvn.
n=O
l
+oo sin t
+oo 1
Montrer que
~l = L --r- 1 .
0
e -
n=l n +