Espaces fonctionnels
109
OO
5. Soit une série convergente . L an à termes strictement positifs. On
n=O
6.
7.
8.
9.
10.
n.
OO
pose f(x) = L ane-nx. Montrer que Log/ est convexe sur R+.
n=O
.
la costx
Soit ha(x) =
- - 2 dt, a> O. Montrer que ha est C 00 sur R.
0 1 +t
Trouver une équation différentielle vérifiée par ha, déterminer ha à
l
x sin ta
l+oo cos t
l'aide de 'Pa: x - 'Pa(x) =
--dt. Calculer
- 1
2 dt.
0
t
0
+t
Etude, pour x > 0, de la série de fonctions de terme général
Un : x - Un ( x) = 1 ~ - l )n ) . Continuité, dérivabilité de la fonction
.
n. n+x
somme, équivalents en 0, en +oo. Relation entre S(x) et S(x + 1),
(8 fonction somme). Développement limité en +oo.
Soit la série de fonctions de terme général Un défini, pour x > 0 et
n ~ 2 par Un ( x) = ../X Log 2 n. Existence et continuité de la fonction
l+xn
somme, dérivabilité. Equivalents en 0 et +oo.
Soit a et b réels > 0, et F la fonction définie pour x ~ 0 par
r+oo ( -at -bt)
F(x) = Jo e-xt e ~ e
dt. Continuité, dérivabilité.
Calcul de F'(x) pour x >O.
1
1
dx
Comportement en +oo de (
2 )t. En donner un
0 l+x+x
équivalent.
12. Etudier la fonction F(x) =
e-txsm dt. Dérivabilité, calcul
l +oo . t
0
t
de F' et de F.