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Analyse fonctionnelle
13. Etude de lim
(x 3 + 1)
dx.
!a
l
néx: + xe-x
n->+oo 0
n +x
!a
l
2nx
14. Etude de lim
1
2 2 dx.
n->+oo o + n nx
15. Soit f E C 0 (1R, IR), étudier la convergence simple et uniforme de la
suite de fonctions (fn)nEN définies par fn(x) = (!2(x) + ~)
112 •
16. On pose f(x) = lo7r ln (1 +x cost)dt. Montrer que f est définie sur
[-1, 1], paire, dérivable sur] - 1, 1[. Déterminer f'. En déduire f.
Montrer quef est continue sur [-1, 1].
17. Etude de la série de fonctions de terme général Un défini par
-nx
Un ( x) = ( -1 )n _e - , pour n ~ 1. Domaine de définition, continuité,
n
dérivabilité et calcul de la fonction somme f.
18. Soit une suite (fn)nEN de fonctions convexes sur [a, b], qui converge
simplement vers f. Montrer que la convergence est uniforme sur
tout [a:, ,B] c]a, b[. Peut-on faire mieux?
+oo
19. Convergence simple et uniforme de L Log (1 + x 2 n + y 2 n).
n=O
Continuité, dérivabilité de la fonction somme.
20. Etudier la suite des fonctions fn définies sur [O, 1] par
fn(t) = ntn sin 7rt.
21. Soit (Àn) une suite croissante de réels telle que lim Àn = +oo,
n->+oo
et f : R+ 1-+ 1R telle que
{+oo if(t)idt converge. Calculer lim {+oo f(t) sin (Ànt)dt.
Jo
n->+oo}o