Espaces fonctionnels
111
SOLUTIONS
( ) tn(l - t"")
[O [
( )
n(
n-1)
1. Onposeunt =
l - t
sur ,l,doncunt =t l+t+ ... +t
,
et un(l) = n par continuité.
Ona
In= 11 Un= 11 (tn + ... + t2n-l)dt
1
1
1
1 n
1
=n+l +n+2+ ... +n+n =;:;:L 1 +k:
k=l
-
n
1
1 d
tend vers
- 1 x = Log 2.
o +x
2. Comme fn(O) = n, il n'y a pas convergence en 0 pour la suite de fonctions
fn, mais pour t =/:- 0, fn(t) ,.., ....!.... 2 tend vers 0, et même pour ltl ~ r > 0
nt
on a 0 ~ fn(t) ~ : 2 =~:il y a convergence uniforme vers 0 des fn,
n r
nr
sur] - oo, -r] U [r, +oo[, et ce pour chaque r > O.
Donc si 0 (j [a, b], g étant bornée sur [a, b] compact, les fng convergent
uniformément vers 0 sur [a, b] et la limite des .!. J.b fng est nulle.
7r a
Si 0 E [a,b], soit ë > 0, 3a > 0 tel que ltl ~ a et t E [a,b] =>
lg(t) - g{O)I ~ ê. On va poser
Un = .!_ lb f n9 = .!_ r f n9 + .!_ 1 f n9·
7r a
7r J[a,b]\]-o:,o:[
7r [-o:,o:]n[a,b]
Sur [a, b]\] - a, a[, compact ne contenant pas 0, les f n9 convergent uniformément vers 0, leur intégrale tend vers O.
Il reste à considérer lim Vn avec Vn = .!. r
j n9·
n-++oo
7r J[a,b]n[-o:,o:]
Ona
Vn = .!. r
fn(t)(g(t) - g(O))dt + .!. r
fn(t)g(O)dt.
7r J[a,b]n[-o:,o:]
7r J[a,b]n[-o:,o:]
La première intégrale se majore en module, en posant [a, b] n [-a, a]
[u,v], par
11v ndt ê
v ê
-
ë · 1
2 2 = -[Arctgnt]u ~ -7r = ë,
7r u
+nt
7r
7r