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Analyse fonctionnelle
la deuxième vaut g(O) [ArctgntJ: = Wn.
11'
Si 0 E]a, b[, on a u < 0 < v donc lim Wn = g(O);
n-++oo
si a = 0, u = 0 < v, lim Wn = g( 2 0) ainsi que
n-++oo
si b = 0, u < 0 < v = 0, lim Wn = g( 2 0) ; et finalement on obtient :
·
n-++oo
· 0 d [ b]
l'
0 · 0
l'
g( 2 0) , s1· 0 = b,
81
l" a, , rm Un = , 81 = a, 1m Un
n-++oo
n-++oo
lim Un = g( 2 0) et si 0 E]a, b[, lim Un = g(O).
n-++oo
n-++oo
3. Soit un(x) = e-x...rn. On a un(O) = 1 et si x < 0, un(x) > 1 : il y a
divergence de la série des un(x) pour x ~O.
Six~ a> 0, llunlloo = e-a,/ii., lim n 2 11unlloo = O,ilyaconvergence
n-++oo
normale de la série de fonction sur [a, +oo[, pour tout a > 0, d'où en
fait continuité de la fonction somme S sur chaque [a, +oo[, pour a > 0,
soit finalement sur 10, +oo[. Commes les Un sont à valeurs positives, on a,
'VN E N, SN(x) ~ S(x) or lim SN(x) = N + 1. Soit donc A > 0, il
x-+O+
existe N tel que N ~ A, à ê = 1 on associe a > 0 tel que 0 < x < a donne
ISN(x) - (N + 1)1 ~ 1, d'où SN(x) ~ N ~A et a fortiori, 'Vx E]O,a[,
S(x) ~ A: on a lim S(x) = +oo.
x-+O+
4. Soit J(t) = :in tl, continue de ]O, +oo[ dans R, avec lim J(t) = 1. On a
e -
t-+O+
fo
1 f(t)dt qui converge en 0, et IJ(t)I ~ et~ 1 : il y a convergence absolue
de l'intégrale en +oo donc I = J 0 +
00
f existe.
~t
1
~
On a f(t) = ---et"" · 1 _ e-t, avec, pour t > 0, e e]O, 1[ et
1
e -(n+l)t
1
-t
-nt
.
d N
1 _ e-t = + e + ... + e
+ 1 _ e-t , et ceCI pour tout n e ,
d'où
f( t)
(~ . t -(p+l)t) + sin t -(n+l)t
= L....J sm e
et _ 1 e
p=O
pour t >O.
La fonction g : t .....+ :i n tl est prolongeable par continuité en 0, (avec
e -
g(O) = 1) et lim g(t) = 0 donc llolloo existe, et {+oo g(t)e-(n+l)tdt
t-++oo
Jo