Espaces fonctionnels
113
exist.e avec
1
r+oo g(t)e-(n+l)tdtl ~ llYlloo r+oo e-(n+I)tdt = llYlloo
k
k
~+D
on a donc
n r+oo
r+oo
I = L Jo sinte-(p+l)tdt + Jn g(t)e-(n+l)tdt
p=O 0
0
avec lim
g(t)e-(n+l)tdt = 0, il rest.e
1
+00
n-++oo 0
I = f (1+oo (sint)e-(p+l)tdt).
p=O
0
Or
up =
sint e-(p+l)tdt = lim
e
e
dt
1
+00
(lx (i-p-l)t _ -(i+p+l)t )
o
X-++oo o
2i
-
.
1 ( 1 - e(i-p-l)X
1 - e-(i+p+l)X)
-
hm -2. -
·
1
+ ("
1)
X-++oo i
i - p -
- i + p +
1 (
1
1
)
1
-2i
= 2i - i - (p + 1) - i + p + 1 = 2i -1- (p + 1)2
1
= l+(p+1)2 "
OO
En posant p + 1 = k il vient finalement I = L k 2 ~ 1 ·
k=l
5. Soit un(x) = ane-nx, sur [0,+oo[, llulloo = an : il y a convergence
normale de la série.
Pour x ~ a > 0, \:/p E N*, la dérivée pième de Un est u~)(x) =
(-l)PnPane-nx donc llunlloo = nPane-na sur [a, +oo[, d'où une conver+oo
gence normale de la série des dérivées de tout ordre: f(x) = L ane-nx
n=O
est C 00 sur [a, +oo[ pour tout a > 0, donc C 00 sur JO, +oo[.
Soit cp(x) =Log f(x), (f(x) > 0 car somme d'une série à t.erme > 0), on a,
cp"(x) = ( j)' !!"!~ /2