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Analyse fonctionnelle
6.
Pour x > 0 les séries définissant f, f' et / 11 sont convergentes à te:('Dles tous
de même signes<+ pour f et!", - pour / 1 ), donc absolument C'.Onvergentes,
on a alors:
Or
+oo
!! Il 1'2 """" """" (
2
) -nx
-
= L.J L.J apaqq - apaqpq e
.
n=O p+q=n
L apaq(q2 - pq) = L apaq(,p2 - qp)
p+q=n
p+q=n
par symétrie des rôles des indices. C'est donc égal à la demi-somme, d'où:
""""
2
1 """"
2
2
L.J apaq(q - pq) = "2 L.J apaq(,p + q - 2pq)
p+q=n
p+q=n
1 """"
.
2
= 2 L.J apaq(p- q) ;;;i: O.
p+q=n
On a donc cp 11 ;;;i: 0 sur ]O, +oo[ d'où la fonction cp convexe sur R+.
( X)
X n
n Log 1-Posons, pour x < n, Un(x) = ( 1- ;;;) = e
n . On a une
fonction décroissante sur [O, n[, qui converge vers e -x. Si on considère un
compact [0, Al de R, et un no >A, la convergence des Un vers e-x est donc
uniforme sur [O, A], (Dini 2, Théorème 12.53). On peut aussi le justifier en
étudiant les variations de Vn: x ~ ( 1 - ~) n - e-x sur [O, n].
(
x)n-1
-x
(
x)
On a v~(x) = e-x - 1 - ;;;
> 0 {::} n _ 1 > Log 1 - ;;; .
.
( X)
X 1 ·
1
1
Soit cpn(x) =Log 1 - - + - - 1 , 'Pn(x) = - (
) + - - 1 ou
n
nn 1 _::_
nn
1
1-X
'Pn(x) = (n _ x)(n _ l), (on suppose n ;;;i: 2).
X
0 1
On
n
cp~
+ 1
-
'Pn
0/
~I
~-OO
V~
-
+
Vn
0-------n
-e
~
mn