Espaces fonctionnels
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Sur [O,n], llvnlloo = e-°'n. - (i-C:)n, avec Log ( 1 - c:) = - na~ 1 soit ( 1 - :n r = ( 1 - ~) e-O llvnlloo = e-°'n. ( 1 - ( 1 - ~)) = One:°'", et comme la fonction 9 :
x ......+ xe-:r: est bornée sur R, on peut dire que llvnlloo ~ ll 9 lloo d'où la
n
convergence uniforme sur [O, A]. (Pourquoi faire court, ce qu'on peut faire
long hein?).
Soit alors e > 0, 3A > 0 tel que L+oo e-:r:xa-ldx ~ i' on fixe no> A,
et soit n ~ no. sur [O, n] on a e-:r: - ( 1 - ~) n ~ 0 (voir les variations de
Vn), on a, sur [A, n], 0 ~ ( 1 - ~) n ~ e-:r:, d'où pour n ~ no,
0 ~Ln ( 1 - ~) n xa-ldx ~ Ln e-:r:xa-ldx ~ i
et
est tel que
Wn ~ L+oo e-:r:Xa-ldx +Ln ( 1- ~) n xa-ldx
+ 1A (e-:r: - (i - ~r) xa-ldx
~ 2i + ~11911001A xa-ldx
Le majorant tend vers 2 i si n tend vers l'infini : il devient inférieur à e pour
n assez grand.
7.
Soit V(xo) un voisinage compact de xo réel. La fonction f de [O, a] x V(xo)
dansR
"à(t)
. costx
.
d
h
.
.
qw
, x associe 1 + t 2 est continue one a est continue, pws
âf
-t sintx
.
.
- 8 (t,x) = 1
2
est aussi continue sur le compact [O,a] x V(xo)
X
+t
d'où ha dérivable, et h~(x) = - r tlsint: dt, on peut dériver à tout
lo +t
ordre, c 8
8 n ! est toujours continue). On a h~(x) = -1a t
2
1 cos!x dt d'où
X
0
+t