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Analyse fonctionnelle
(h~ -ha)(x) = - costxdt = _smax,pourx =f. 0, apriori, mais
l
a
.
0
X
défini en x = 0 par continuité.
La solution de l'équation sans second membre est f(x) = Àe:i: + µe-:i:.
Avec second membre, on cherche des fonctions À et µ dérivables vérifiant
W( x) ( ;; ) = ( _ si~x ax ) avec W(x) matrice wronskienne du système,
·
(e:i: e-:i: )
(voir 18.65) : W(x) = :i: -:i: .
e -e
0 b .
,,
1 -:i:sinax
1
1 :i:sinax
.
d .
uf
no tient,.. = - 2 e -x- etµ = 2 e -x-, ce qw con wt, sa
erreur, à une expression du type
avec C,Oa(x)
initiales:
ha(x) = Àoe:i: + µoe-:i: -1:i: ch(x - t)c,o~(t)dt
= l:i: sin ta dt, Ào et µo étant calculés par les conditions
0
t
ha(O) = Arctga = Ào + µo
h~(O) = O = Ào - µo
d'où Ào = µo = ~ Arctg a et
ha(x) = (Arctga)ch x -1:i: c,o~(t)ch (x - t)dt.
1
+00
Calcul de f ( x) =
lcos t~ dt. L'intégrale impropre converge, et
0
+t
f(x) = lim ha(x), mais la présence de C,Oa(x) ne facilite pas les choses.
a-++oo
.
ln costx
En fait, en posant Un (x) =
- 1 2 dt, on a Un de classe C 2 '
0
+t
l 1 +oo cos tx 1 1+
00
dt
11"
lf(x) - un(x)I = n 1 + t2 dt ~ n 1 + t2 = 2 -Arctgn
il y a convergence uniforme des un vers f.
Pui ' ( )
ln t sintxdt . tè . ...t. 0
s Un x = -
- 1
2 , on m gre par parties, pour x r :
0
+t
1 ( ) = [ t costx ] n -ln (costx)(l - t 2 ) dt
Un X
x(l + t2) o 0 x(l + t2)2