Espaces fonctionnels
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soit
u' (x) = n cosnx - r (costx)(l - t 2 ) dt
n
x(l + n2)
) 0
x(l + t2)2
et sous cette forme on voit qu'il y a convergence uniforme sur [a, +oo[, avec
1
+oo (costx)(l - t 2 )
a > 0, vers - 0
x(l + t2)2 dt.
Le théorème de dérivation d'une limite s'applique et donne f dérivable sur
1
+oo t sin tx
.
]O,+oo[, avec f'(x) = -
- 1 - - 2 dt, la convergence de la suite des
0
+t
u~ assurant l'existence de cette intégrale.
On intègre alors f ( x) = 1+oo 00
1 s t~ dt par parties, pour x # 0, avec
0
+t
1
-2tdt
1
u = 1 + t2 , du = (l + t2)2 , dv = cos xdt, v = ;;sin tx
donc
[
sin tx ]
00
2 { +oo t sin tx
f(x) = (1 + t2)x o + x Jo (1 + t2)2dt
d'où l'égalité xf(x) = 2 fo+oo ~ls~~;~~dt. Comme la dérivée en x de
t sin(tx)
t 2 costx
.
1
.
(l + t2)2 est (l + t2)2 , maJorée par 1 + t 2 en module, on peut dénver
cette intégrale en x, (écrire 1+oo (~ sin~~ 2 dt = lim vn(x) avec
o
+t
n-++oo
()
{ntsintxd
.
,
Vn x = Jo (l + t 2 ) 2 t : on a convergence uniforme des Vn et des v,.),
d'où en dérivant :
! '( ) f( ) = 2
t cos tx dt= 2
t + 1 - 1 cos tx t
1
+00 2
1+00 ( 2
)
d
X
X + X
0
(1 + t2)2
0
(1 + t2)2
soit
'
r+ 00 costx
xf (x) + f(x) = 2/(x) - 2 Jo (l + t2)2 dt
on peut encore dériver, donc
Il
'
'
r+ 00 t sintx
xf (x) +2/ (x) = 2/ (x) +2 Jo (l +t2)2 dt