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Analyse fonctionnelle
soit xf"(x) = xf(x) pour x "1- 0, d'où J"(x) - f(x) = 0, ce qui conduit
à une expression en f(x) = .Xé + µe-x sur ]O, +oo[, avec f(x) bornée,
(1/(x)I ~ 1+oo 1 !\ 2 = i). donc À= 0, d'où f(x) = µe-x, or f est
continue et /(0) = i donc
f(x) = 1+00 clost~dt = ~2e-x et 1+00 lcost2dt = 27r.
0
+t
0
+t
e
8. Six E R - (-N), chaque un(x) existe.
Sur tout compact K C R - (-N), avec a > 0 tel que K C [-a, a],
et n ~ a+ 1, on a Vx E K, lx+ ni ~ ln - lxll ~ n - a ~ 1 et
llunlloo ~ ~ : il y a convergence uniforme de la série des Un sur K, et
n.
'
'
(-l)n+l
de celle des Un : (un(x) = I(
) 2 , donc là encore, sur K, et pour
n. n+x
n ~ a+ 1, llu~lloo ~ ~). On a donc une fonction somme S continue,
n.
dérivable et même C 00 sur l'ouvert n = R - ( -N).
Relation entre S(x) et S(x + 1) :
+oo ( )n(
)
+oo ( )n +oo ( )n
xS(x) =""' -1 x + n - n = ""'__=.!___ _""' n -1
~
~~+zj
~ ~
~~~+~
n=O
n=O
n=O
1 +oo
(-l)n
1
= e - L (n - l)!(x + 1 + (n - 1)) = e + S(x + l)
n=l
1
donc xS(x) = - + S(x + 1).
e
OO
Equivalent en O. On a: S(x) = ~ + L un(x).
n=l
[ 1
[
1
1
Sur - 2 , +oo , n + x ~ 1 - ' 2 = ' 2 dès que n ~ 1, donc pour n ~ 1 et
x ~ -4, lun(x)I ~ :! ~ I~ un(x)I ~ 2e d'où S(x) ~~en O.
1
En +oo: en posant - = t, t tend verso+, et Un(x) donne
X
(-l)nt
(-l)n
vn(t) = '(l
) = twn(t) avec Wn(t) = '(l
) d'où
n. +nt
n. +nt