9.
Espaces fonctionnels
119
Or, pour t ;;;i: 0, llwnlloo =~.la série des Wn converge uniformément sur
n.
[0, +oo[, sa fonction somme est continue et
OO
1
+oo
1
1
lim "Wn (-) = "wn(O) = - donc S(x) ~ - en +oo.
x-++oo L..J
x
L..J
e
ex
n=O
n=O
+oo (-l)n
En fait W(t) = L '(l ) admet un développement limité de tout
n. +nt
.
n=O
( )
(-l)n+PplnP
( )
lnP
ordreenOcarw P (t) =
·
etpourt :::i: 0 llw P Il = E:....._ =
n
n!(l + nt)P+l
7
'
n
00
n!
On, terme général d'une série convergente,
( On+ 1 = (n + l)P _1_--+ o) :
On
n
n+l
il y a conve~nce uniforme des séries de dérivées de tout ordre, donc W est
de classe C , et
W(t) = W(O) + tW' (0) + ... + t~ w(p) (0) + o(tP)
p.
ce qui conduit à
- 1
1
'
1 1
(p)
(
1 )
S(x) - ~W(O) + x2 W (0) + ... + Pf xP+l W (0) + o xP+l
+oo (-l)n+p lnP
(en +oo), avec w(p) (0) = "
p.
.
L..J
n!
n=O
VbLogn
Pour x E [a, bJ cJO, +oo[ on a lun(x)I ~
2 = On avec la série
l+an
des On convergente : il y a convergence normale de la série sur (a, bJ, d'où
continuité de la fonction somme sur Ja, b(, \>']a, b[cJO, +oo(: si on note S la
fonction somme sur JO, +oo[, on a S continue sur JO, +oo(.
Puis
1
1
Logn
n 2 y'X Logn
un(x) = 2y'X 1 + xn2 - (1 + xn2)2
_ (1- n 2 x) Logn
- 2y'X(l + xn 2 ) 2
d'où, sur (a, bJ cJO, +oo(,
Il / Il ~ (1 + bn 2 )Logn _ /3 "' b Logn
Un oo "' 2y"(i(l + an2)2 - n - 2a2y"an2