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Analyse fonctionnelle
il y a convergence normale de la série des dérivées, donc S dérivable sur
JO, +oo[, (d'abord sur chaque ]a, b[c]O, +oo[).
Equivalent en O. La fonction t ~ f(t) = 1 Log; , (x > 0 fixé) devient
+tx
.
'( )
1
2tx Logt
.
décroissante pour t assez grand car f t = (l 2 ) - (l 2 ) 2 s01t
t +t X
+t X
1
l+t 2 x-2t 2 xLogt
.
.
f (t) =
(l
2 ) 2
devient < 0 s1 t tend vers +oo.
t +tx
Il existe donc N tel que sur [N - 1, +oo[, f décroit, d'où, sin;;;;: N,
1 n+l
1 n+l 1n+l
f(n + l)dt ~
f(t)dt ~
f(n) = 1 Logn 2
n
n
n
+~
et l'encadrement :
1 n+l ../XL
1n
../X
f(t)dt ~ t og 2 n = un(x) ~ ../X f(t)dt
n
+xn
n-1
et
l +oo Log t
+oo
l+oo Log t
li(x) =../X
- 1 - 2 -dt ~ L un(x) ~../X - 1 t 2 dt,
N
+t X
N-1
+ X
n=N
intégrale encore notée 12(x).
On calcule li(x) en faisant le changement de variables= t..jX, d'où
li(x) = {+oo Logs - L~g..jX ds
jN../X
l+s
l +oo L
1
=
1 og~ds - - 2 (Logx)[ArctgsJ"t~·
N../X +s
•
.
.
r+oo Logs
On travaille pour N fixé, s1 x -+ 0, comme Jo
- 1
2 ds converge, on a
+s
111"
.
11"Logx
li(x) x=;O -22Logx : on peut écnre 11(x) = - - - 4 - + a(x) Logx
avec lim a(x) = 0, mais aussi h(x) = - 11" L 4 ogx + /3(x) Logx avec
1-+0+
lim /3(x) =O.
x-+O+
N-1
Comme L un(x) est une fonction continue de x, (N est fixé), cette
n=2
expression a pour limite 0 si x tend vers 0, donc on a encadré finalement