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Analyse fonctionnelle
x < x' < x +net x < x" < x + TJ implique llg(x') - g(x")ll :i:;; i• d'où
finalement, pour ces x' et x",
11/(x')-/(x")ll :i:;; 11/(x')-g(x')ll+lig(x')-g(x")ll+llg(x")-/(x")ll
:i:;; 211/ - glloo + llg(x') - g(x")ll :i:;; ê
on a bien le critère de Cauchy d'où l'existence de lira f(t). On procède
.
t--+x+
de même pour les limites à gauche sur ]a, b].
Réciproquement, on suppose l'existence des limites à droite et à gauche.
Soit ê > 0, à chaque x de [a, b[, on associe dx E]x, b] tel que
V(t,t') E]x,dx[ 2 , 11/(t) - /(t')ll :i:;; ê, (existence d'une limite à droite).
De même, pour x E]a, b], on associe Cx E [a, x[ tel que si t et t' sont dans
]e:z;,x[, on ait 11/(t) - /(t')ll :i:;; e.
Le compact, (eh oui) [a, b] = [a, da[U]Cb, b] U ( LJ ]ex, dx[) étant
xE]a,b[
recouvert par des ouverts de [a, b], on en extrait un recouvrement fini noté
Soit Z = {a, da, b, cb; Xi, Cxi, dxi, i = 1, ... , n} cet ensemble fini
d'éléments de [a, b]; on le reindexe en croissant sous la forme
zo = a < z1 < ... < Zp = b.
On va alors facilement construire g en escalier telle que l lg- fi loo :i:;; ê.
.
.
Zj + Zj+l
, ,
En effet, soit, pour J = 0, 1, ... ,p - 1, tj =
2
. Cet element
tj est dans [a, b], donc il est dans [a, da[, ou ]cb, b], ou l'un des ]Cxi, dxi [.
Par exemple supposons tj E]cxi,dxJ Comme en outre tj ~ Z, tj n'est
pas égal à Xi, donc il est dans ]cxi,xi[ ou dans ]xi,dxJ
Par exemple supposons tj E]cxi,xi[·
Comme Zj est le plus grand des Zk de Z qui sont inférieurs à tj, vu
l'indexation croissante, et que Cxi E Z, on a Cxi :i:;; Zj· Mais de même Zj+l
est le plus petit des Zk de Z qui sont supérieurs à tj, or Xi E Z et Xi > tj
donc Zj+l :i:;; Xi·
Mais alors ]zj,Zj+i[C]cxi,xi[, intervalle sur lequel l'oscillation de f
est majorée par ê.
Analyse fonctionnelle
x < x' < x +net x < x" < x + TJ implique llg(x') - g(x")ll :i:;; i• d'où
finalement, pour ces x' et x",
11/(x')-/(x")ll :i:;; 11/(x')-g(x')ll+lig(x')-g(x")ll+llg(x")-/(x")ll
:i:;; 211/ - glloo + llg(x') - g(x")ll :i:;; ê
on a bien le critère de Cauchy d'où l'existence de lira f(t). On procède
.
t--+x+
de même pour les limites à gauche sur ]a, b].
Réciproquement, on suppose l'existence des limites à droite et à gauche.
Soit ê > 0, à chaque x de [a, b[, on associe dx E]x, b] tel que
V(t,t') E]x,dx[ 2 , 11/(t) - /(t')ll :i:;; ê, (existence d'une limite à droite).
De même, pour x E]a, b], on associe Cx E [a, x[ tel que si t et t' sont dans
]e:z;,x[, on ait 11/(t) - /(t')ll :i:;; e.
Le compact, (eh oui) [a, b] = [a, da[U]Cb, b] U ( LJ ]ex, dx[) étant
xE]a,b[
recouvert par des ouverts de [a, b], on en extrait un recouvrement fini noté
Soit Z = {a, da, b, cb; Xi, Cxi, dxi, i = 1, ... , n} cet ensemble fini
d'éléments de [a, b]; on le reindexe en croissant sous la forme
zo = a < z1 < ... < Zp = b.
On va alors facilement construire g en escalier telle que l lg- fi loo :i:;; ê.
.
.
Zj + Zj+l
, ,
En effet, soit, pour J = 0, 1, ... ,p - 1, tj =
2
. Cet element
tj est dans [a, b], donc il est dans [a, da[, ou ]cb, b], ou l'un des ]Cxi, dxi [.
Par exemple supposons tj E]cxi,dxJ Comme en outre tj ~ Z, tj n'est
pas égal à Xi, donc il est dans ]cxi,xi[ ou dans ]xi,dxJ
Par exemple supposons tj E]cxi,xi[·
Comme Zj est le plus grand des Zk de Z qui sont inférieurs à tj, vu
l'indexation croissante, et que Cxi E Z, on a Cxi :i:;; Zj· Mais de même Zj+l
est le plus petit des Zk de Z qui sont supérieurs à tj, or Xi E Z et Xi > tj
donc Zj+l :i:;; Xi·
Mais alors ]zj,Zj+i[C]cxi,xi[, intervalle sur lequel l'oscillation de f
est majorée par ê.