Espaces fonctionnels
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DÉFINITION 12.35. - On appelle fonction réglée de I dans E toute limite
uniforme d'une suite de fonctions en escalier de I dans E.
THÉORÈME 12.36. - L'ensemble R(I, E) des fonctions réglées de I dans
E est le sous-espace vectoriel adhérence de E(I, E) dans B(I, E) espace
des applications bornées de I dans E, pour la norme de la convergence
uniforme.
En effet, dans B(I, E), on a f adhérent à E(J, E) si et seulement si il
existe une suite (gn)nEN de fonctions de E(I, E), (donc en escalier) telle
que lim Il/ - 9nlloo = 0, ce qui traduit la convergence uniforme: on a
n-++oo
E ( I, E) = R( I, E). De plus, si f est réglée, elle est bornée comme limite
uniforme de fonctions bornées.
Enfin, la continuité de l'addition et du produit par un scalaire, dans un
E.V.N., donnent immédiatement la justification de la structure vectorielle
de R(I, E) : si f et f' sont réglées, avec les 9n et g~, en escalier, qui
convergent vers f et f', on a, pour ( >., >.') dans R 2 ,
>.J + >.J' = >. ( lim 9n) + >.' ( lim g~)
n-++oo
n-++oo
= lim (>.gn + >.' g~),
n-++oo
.les fonctions À9n + >.' g~ étant en escalier, d'où >.f + >.' J' réglée.
•
12.37. Remarque. R(I, E) étant fermé dans B(I, E) il en résulte qu'une
limite uniforme de fonctions réglées est réglée.
Est-il facile de voir si une fonction est réglée? Assez, oui. Si l'espace
E est complet on va avoir une caractérisation pratique.
THÉORÈME 12.38. - Soit E un Banach. Une fonction f de I = [a, b] dans
E est réglée si et seulement si elle admet une limite à droite en tout point
de [a, b[ et une à gauche en tout point de ]a, b].
Supposons f réglée, et soit x E [a, b[. L'espace E étant complet,
l'existence de lim J(t) sera obtenue grâce au critère de Cauchy, (voir
t-+x+
tome 2, Théorème 4.100).
Or, Ve > 0, 3g en escalier, avec 11/ - gl loo ~ i ; puis g étant fixée,
elle admet une limite à droite en x, car il existe un a: > 0 tel que g
ê
soit constante sur ]x, x +a:[, mais alors, à 3 on associe TJ > 0 tel que
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DÉFINITION 12.35. - On appelle fonction réglée de I dans E toute limite
uniforme d'une suite de fonctions en escalier de I dans E.
THÉORÈME 12.36. - L'ensemble R(I, E) des fonctions réglées de I dans
E est le sous-espace vectoriel adhérence de E(I, E) dans B(I, E) espace
des applications bornées de I dans E, pour la norme de la convergence
uniforme.
En effet, dans B(I, E), on a f adhérent à E(J, E) si et seulement si il
existe une suite (gn)nEN de fonctions de E(I, E), (donc en escalier) telle
que lim Il/ - 9nlloo = 0, ce qui traduit la convergence uniforme: on a
n-++oo
E ( I, E) = R( I, E). De plus, si f est réglée, elle est bornée comme limite
uniforme de fonctions bornées.
Enfin, la continuité de l'addition et du produit par un scalaire, dans un
E.V.N., donnent immédiatement la justification de la structure vectorielle
de R(I, E) : si f et f' sont réglées, avec les 9n et g~, en escalier, qui
convergent vers f et f', on a, pour ( >., >.') dans R 2 ,
>.J + >.J' = >. ( lim 9n) + >.' ( lim g~)
n-++oo
n-++oo
= lim (>.gn + >.' g~),
n-++oo
.les fonctions À9n + >.' g~ étant en escalier, d'où >.f + >.' J' réglée.
•
12.37. Remarque. R(I, E) étant fermé dans B(I, E) il en résulte qu'une
limite uniforme de fonctions réglées est réglée.
Est-il facile de voir si une fonction est réglée? Assez, oui. Si l'espace
E est complet on va avoir une caractérisation pratique.
THÉORÈME 12.38. - Soit E un Banach. Une fonction f de I = [a, b] dans
E est réglée si et seulement si elle admet une limite à droite en tout point
de [a, b[ et une à gauche en tout point de ]a, b].
Supposons f réglée, et soit x E [a, b[. L'espace E étant complet,
l'existence de lim J(t) sera obtenue grâce au critère de Cauchy, (voir
t-+x+
tome 2, Théorème 4.100).
Or, Ve > 0, 3g en escalier, avec 11/ - gl loo ~ i ; puis g étant fixée,
elle admet une limite à droite en x, car il existe un a: > 0 tel que g
ê
soit constante sur ]x, x +a:[, mais alors, à 3 on associe TJ > 0 tel que