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Analyse fonctionnelle
variable, alors la série des Un converge uniformément, sa fonction somme
est dérivable et on a
(
OO
) '
OO
~ Un(x) = ~ u~(x).
C'est bien sûr, la version série du théorème 12.22 obtenue grâce à la
linéarité de la dérivation.
3. Un espace fonctionnel : fonctions réglées
Je n'ai pas l'intention de vous ennuyer avec une étude exhaustive des
fonctions réglées, mais j'aimerai en dire assez pour dégager la notion
d'intégrale des fonctions réglées et, dans le cas des fonctions à valeurs
réelles, comparer cette intégrale à celle de Darboux.
Dans tout ce qui suit, I désignera un segment [a, b] de R
DÉFINITION 12.33. - Soit I = [a, b] un segment de IR et E un espace
vectoriel normé. On appelle fonction en escalier de I dans E toute fonction
f telle· qu'il existe une suite finie xo = a < x1 < . . . < Xn = b avec f
constante sur chaque ]xi, Xi+l~ pour i = 0, 1, ... , n - 1.
On ne dit rien des valeurs prises par f en chaque Xi, mais comme
finalement f ne prend qu'un nombre fini de valeurs en ces points l If 11 00 =
sup{llJ(x)ll; x E I} existe, et les fonctions en escalier sont des éléments
de l'espace vectoriel B(I, E) des applications bornées de I dans E, normé
par la norme de la convergence uniforme, llflloo·
12.84. En fait l'ensemble ê(I, E) des fonctions en escalier de I dans E
est sous espace vectoriel de B(I, E).
Le plus facile, pour le justifier sans se perdre dans des indices, c'est
peut être de constater que f en escalier sur I = [a, b] équivaut à dire
qu'il existe une partition finie de I en intervalles (Ak)k=l, ... ,p tels que
f restreinte à chaque Ak soit constante. Si g est aussi en escalier, si
(Bi)i=l, ... ,q est une partition de I telle que g soit constante sur chaque Bi,
on aura f etg constantes sur chaque AknBi non vide, donc, 'v'(À,µ) E IR 2 ,
Àf + µg est constante sur les intervalles non vides Ak n Bi qui forment
une partition de I.
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Analyse fonctionnelle
variable, alors la série des Un converge uniformément, sa fonction somme
est dérivable et on a
(
OO
) '
OO
~ Un(x) = ~ u~(x).
C'est bien sûr, la version série du théorème 12.22 obtenue grâce à la
linéarité de la dérivation.
3. Un espace fonctionnel : fonctions réglées
Je n'ai pas l'intention de vous ennuyer avec une étude exhaustive des
fonctions réglées, mais j'aimerai en dire assez pour dégager la notion
d'intégrale des fonctions réglées et, dans le cas des fonctions à valeurs
réelles, comparer cette intégrale à celle de Darboux.
Dans tout ce qui suit, I désignera un segment [a, b] de R
DÉFINITION 12.33. - Soit I = [a, b] un segment de IR et E un espace
vectoriel normé. On appelle fonction en escalier de I dans E toute fonction
f telle· qu'il existe une suite finie xo = a < x1 < . . . < Xn = b avec f
constante sur chaque ]xi, Xi+l~ pour i = 0, 1, ... , n - 1.
On ne dit rien des valeurs prises par f en chaque Xi, mais comme
finalement f ne prend qu'un nombre fini de valeurs en ces points l If 11 00 =
sup{llJ(x)ll; x E I} existe, et les fonctions en escalier sont des éléments
de l'espace vectoriel B(I, E) des applications bornées de I dans E, normé
par la norme de la convergence uniforme, llflloo·
12.84. En fait l'ensemble ê(I, E) des fonctions en escalier de I dans E
est sous espace vectoriel de B(I, E).
Le plus facile, pour le justifier sans se perdre dans des indices, c'est
peut être de constater que f en escalier sur I = [a, b] équivaut à dire
qu'il existe une partition finie de I en intervalles (Ak)k=l, ... ,p tels que
f restreinte à chaque Ak soit constante. Si g est aussi en escalier, si
(Bi)i=l, ... ,q est une partition de I telle que g soit constante sur chaque Bi,
on aura f etg constantes sur chaque AknBi non vide, donc, 'v'(À,µ) E IR 2 ,
Àf + µg est constante sur les intervalles non vides Ak n Bi qui forment
une partition de I.
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