Espaces fonctionnels
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La fonction somme est Riemann intégrable et on a
b(OO
)
00 b
1 ~ Un(t) dt= ~1 (un(t))dt.
En effet les fonctions sommes partielles sont Riemann intégrables et
le théorème 12.11 s'applique.
Il donne
!.' (t,0n) ~ N~oo (!.'(~Un))
=
lim (t (1b Un))
N-++oo n=O
a
par linéarité de l'intégrale, d'où la convergence de la série de terme général
lb Un et la formulation. On dit qu'on intègre terme à terme. •
On peut étendre ce résultat au cas d'intégrales impropres sur un
intervalle borné. On a :
THÉORÈME 12.32.bis - Soient des fonctions Un de [a, b[ intervalle borné
de R dans IR telles que les intégrales impropres lb un(t)dt convergent. Si
la série des Un converge uniformément sur [a, b~ sa fonction somme est
d'intégrale impropre convergente sur [a, b[ et
lb (t, Un)= t, (lb Un)En effet, on applique le théorème 12.22 aux sommes partielles.
•
Enfin on ne peut pas dériver la fonction somme d'une série, même
normalement convergente, on ne peut pas ! Mais ... on pourra quand même
dériver terme à terme une série grâce au théorème suivant.
THÉORÈME 12.32. - Soit (Un)neN une série de fonctions de [a, b] dans IR,
dérivables, les u~ étant Riemann intégrables. Si la série des u~ converge
uniformément, et si la série des Un ( x) converge pour une valeur xo de la