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Analyse fonctionnelle
On posera u1 = uo = O. Alors la norme infinie de Un existe et
1
JJunlloo = sup{Jun(t)J, t E [O, 1]} = - pour n ~ 2.
n
Si on définit U sur [O, 1] par U(O) = 0 et par sa restriction à
[~ (~ + n: 1) • ~ (~ + n ~ 1 )] égale à la restriction de Un à ce
même segment, en notant UN la somme partielle des Un on a U - UN est
la fonction nulle sur [~ (~ + N ~ 1 ), 1]. (N ~ 2), et égale à U sur
[o,~(~+ N~l)].doncJJU-UNlloo~ N~l·
Il y a convergence uniforme, absolue (car les fonctions sont à valeurs
positives) mais pas normale vu la valeur de llUnlloo·
On peut enfin remarquer que :
THÉORÈME 12.29. - Soit une série de fonctions à valeurs dans un Banach
F. La convergence normale équivaut à l'existence de chaque JJunlloo =
sup{JJun(x)JJ;x E E} et à la convergence de la série numérique des
JJUnJloo·
Car si on a convergence normale, avec les an ~ 0 tels que Vn E N,
Vx E E, JJun(x)JJ ~ On, on aura Un bornée d'où JJunlloo existe et
J lun J loo ~ On : la convergence de la série des On donne celle de la série des
JJUnlloo· Réciproquement, les JJunlloo conviennent comme suite On pour
justifier la convergence normale.
•
Citons pour terminer, les résultats sur les séries de fonctions, déduits
de ceux valables pour les suites.
THÉORÈME 12.30. - Soit E topologique, F vectoriel normé. Si la série de
fonctions ( Un)nEN de E dans F converge uniformément, et si les Un sont
continues, la fonction somme est continue.
Car la continuité de l'addition, de F x F dans F, donne la continuité
des fonctions sommes partielles Un, et on conclut grâce au théorème 12.7.
THÉORÈME 12.31. - Soit une série de fonctions ( Un)nEN• Riemann
intégrables de [a, b] segment de IR dans IR, qui converge uniformément sur
[a,b].