Espaces fonctionnels
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Exemple : E = [O, 1], F = R et on définit Un par Un(t) = tn - tn+l
n
sur [O, 1] sin~ 1, et uo(t) = 1 - t. On a L uk(t) = 1 - tn+l, avec des
k=O
uk(t) positifs sur [O, 1]. La série converge donc vers la fonction U définie
par U(l) = 0 et U(t) = 1 sur [O, 1[. La convergence est non uniforme, (les
Un étant continues mais pas U), bien qu'absolue car lun(t)I = Un(t).
12.28. Enfin on peut avoir convergence absolue uniforme mais pas convergence normale.
L'idée, avec E = [O, 1] et F = IR, est de partir d'une fonction U
à valeurs positives, avec une suite de maximum, et de fractionner son
support.
Pour cela on va définir Un. affine par morceaux, pour n ~ 2, nulle sur
[ o,! (.! + - 1 ) J u [~ (.! + - 1 ) , 1]
2 n
n+l
2 n
n-1
1 . 1
valant - en -.
n
n
:1
3
\
\
\