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Analyse fonctionnelle
si la série des fonctions de E dans IR définies part~ llun(t)ll, converge
simplement (resp. uniformément).
Il résulte du Théorème 11.12 que la convergence absolue simple (resp.
absolue uniforme), avec F complet, implique la convergence simple (resp.
uniforme) de la série de fonctions.
Nous allons cependant introduire un nouveau type de convergence :
la convergence normale, ou dominée, lorsque l'espace d'arrivée F est un
Banach.
DÉFINniûi~ 12.25. - Soit un ensemble E, et un espace de Banach F. On
dit· qu'un série de fonctions (un)nEN de E dans F converge normalement,
(ou en norme, ou qu'il y a convergence dominée) si et seulement si il existe
une série de terme général réel positif an. convergente, et telle que 'Vn E N,
'Vt E E, llun(t)ll ~ Œn·
Si c'est le cas, la série des Un(t) converge absolument dans F complet.
De plus, le critère de Cauchy, dans IR complet, appliqué à la série des Œn
donne:
'Vê > 0, 3Po E N, 'Vp ~ Po, 'Vq > p, 'Vt E E
q
q
L uk(t) = JJUq(t) - Up(t)JJ ~ L ak ~ ê,
k=p+I
k=p+l
on a donc le critère de Cauchy, uniforme en t dans E, pour la suite des
sommes partielles, Un de la série initiale : il y a convergence uniforme
d'après la remarque 12.14.
On a donc, avec F espace d'arrivée complet :
(convergence normale)=> (convergence absolue uniforme)=> (convergence uniforme)=> (convergence simple).
12.26. Mais on peut avoir convergence uniforme sans convergence absolue.
Exemple : E quelconque, F = IR, on définit les fonctions constantes
Un par Un ( t) = ( - l )n. Il y a convergence, uniforme en t puisque Un ne
n+l
dépend pas de t, mais pas convergence absolue.
12.27. Il peut de même y avoir convergence absolue non uniforme.