Espaces fonctionnels
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Mais alors la(h)I ~ 2lhli+lun0 (x+h)-un 0 (x)-hu~ 0 (x)I, et comme
la fonction Uno est dérivable, il existe ho ~ 0 tel que lhl ~ ho implique
lun 0 (x + h) - Un 0 (x) - hu~ 0 (x)I ~ ilhl d'où finalement:
' Vê > 0, 3ho > 0, 'Vh, lhl ~ho~ lu(x + h) - u(x) - hv(x)I ~ êlhl
on a bien u dérivable, de dérivée v.
•
REMARQUE - Si on remplace l'hypothèse u~ intégrable au sens de Riemann par les u~ continues, on simplifie la justification, car alors v est continue, (limite uniforme de fonctions continues), donc intégrable, et l'égalité
de définition de u: u(x) = 1x v(t)dt +a prouve la dérivabilité de u et
xo
l'égalité u 1 (x) = v(x), (Théorème 12.68).
2. Séries de fonctions
Lorsque l'espace d'arrivée est un espace vectoriel normé, on va pouvoir
considérer une série de fonctions (un)neN, de E dans F, c'est-à-dire
associer aux fonctions Un les fonctions sommes partielles Un de E dans
n
F définies par Un(t) = L up(t), et ce pour tout t de E.
p=O
12.23. On dira qu,e la série des ( Un)nEN converge simplement, (resp
uniformément) vers une fonction somme U si et seulement si la suite
des sommes partielles (Un)nEN converge simplement (resp. uniformément)
vers U.
Compte tenu de la continuité de l'addition, de F x F dans F, on va
pouvoir étendre au cas des séries de fonctions les résultats obtenus pour
les suites.
Cependant, l'étude des séries, (voir 11.11), montre que dans le cas de F
complet, on peut parler de convergence absolue pour une série de vecteurs
deF.
12.24. Soit une série de fonctions de 'E dans F, Banach, de terme général
Un. On dira qu'il y a convergence absolu,e simple (resp. absolue uniforme)