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Analyse fonctionnelle
Or, 'Ve> 0, 3no, '<:/n ~no, llv-u~lloo ~ 2 (b ~a) et la-un(xo)I ~ i•
vu les hypothèses, d'où,'Vn ~ no et '<:/x E [a, b],
on a bien convergence uniforme des Un vers u.
Comme u(xo) =a, il y a bien convergence des Un(xo) vers a. Il reste
à prouver que u est dérivable, et que u 1 (x) = v(x).
On pose
soit
1 x+h
u(x + h) - u(x) - hv(x) = x v(t)dt - hv(x) = a(h),
1 x+h
1x+h
a(h) = x
(v(t) - u~(t))dt + x u~(t)dt - hv(x).
Or on a justifié que Un(x) - Un(xo) = 1x u~(t)dt, donc on a encore
xo
1 x+h
a(h) = x
(v(t) - u~(t))dt + (Un(X + h) - un(x) - hu~(x))
- h(v(x) - u~(x)).
Mais la convergence uniforme des u~ vers v donne :
'Ve> 0, 3no, '<:/n ~no, llv - u~lloo ~ i
d'où a fortiori si on fixe n ·=no,
et aussi
et ceci qµelque soit h.