Espaces fonctionnels
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Si 2 : E Q, avec 2 : = ~, irréductible, on a nx + 2k7r = n ( 211"~) +
211"
2k11" = -(pn+ kq), l'ensemble des cosnx est donc périodique si q > i.•
q
On aimerait cependant pouvoir dériver une limite. Que faire? Eh bien,
modifier le théorème d'intégration.
THÉORÈME 12.22. - Soit une suite ( Un)nEN de fonctions du se_gment [a, b]
de R dans IR. On suppose les Un dérivables, les u~ étant intégrables au sens
de Riemann sur [a, b]. Si les u~ convergent uniformément sur [a, b] vers
une fonction v, et si les Un convergent pour une valeur xo de la variable,
alors les Un convergent uniformément vers une fonction u dérivable, telle
que u(xo) = lim un(xo) et u' = v.
n-++oo
En fait, on ne dérive pas la limite des Un. qui au départ n'existe pas,
mais on intègre la limite des dérivées.
Les u~, intégrables, convergent uniformément sur [a, b] vers une
fonction v qui est donc intégrable (théorème 12.11).
On pose a= lim un(xo) et on définit une fonction u sur [a, b] par
n-++oo
u(x) = 1x v(t)dt +a.
xo
Par ailleurs, on a :
Un(x) = 1x u~(t)dt + Un(xo)
xo
car, si xo < x par exemple, et si xo < x1 < . . . < Xp
subdivision d de [xo, x], on aura
p-1
p-1
x est une
Un(x) - Un(xo) = L(un(Xi+i) - Un(xi)) = L(Xi+l - Xi)u~(>.i)
i=O
i=O
avec des Ài dans [xi, Xi+1J, (accroissements finis). Mais on retrouve une
somme de Riemann, et lorsque le pas de d tend vers 0, le second membre
a pour limite J: 0 u~(t)dt. On doit faire cela car on n'a pas supposé les u~
continues.
On procède de même pour x ~ xo.
Mais alors
·
u(x) - un(x) = 1x (v - u~)(t)dt +(a - un(xo)).
xo