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Analyse fonctionnelle
REMARQUE 12.19. - On peut concevoir la convergence uniforme à l'aide
des nouilles ou des sports d'hiver. Je m'explique, sinon vous allez croire
que je suis fou. Soit des fonctions ( Un)nEN de E dans F métrique qui
convergent uniformément vers u. On peut associer, e > 0 étant fixé,
la boule ouverte Bo(u(x),e) à chaque x de E et introduire la réunion
des Bo(u(x),e) pour x dans E, qui est une sorte de chenille, ou de
boudin, ou de macaroni (cuit, pour la souplesse), entourant le graphe
r = {(x, u(x)); X E E} de u : disons, plus mathématiquement, un
voisinage tubulaire.
Et avoir convergence uniforme, c'est associer, à chaque voisinage
tubulaire de ce type, (fonction de e > 0), un no de N tel que Vn ~no, le
graphe r n de Un soit coincé dans ce voisinage tubulaire.
Et les sports d'hiver ? Eh bien, imaginez une piste de descente avec
une porte, de largeur 2e, à franchir : tous les skieurs Un passant dans
cette porte « d'abscisse t » sont en train de faire de la convergence simple,
surtout si vous déplacez la porte le long de la piste ; et la convergence
uniforme, c'est quand on les oblige à descendre dans un couloir, (une piste
de bobsleigh par exemple).
Si ces images ne vous facilitent pas la compréhension de la convergence
simple, ou uniforme, elles peuvent toujours vous faire rêver et ce n'est déjà
pas si mal.
REMARQUE 12.20. - (La dernière). Et la dérivation dans tout cela? Eh
bien, rien! La convergence uniforme d'une suite de fonctions dérivables
n'implique rien. Intuitivement cela se conçoit : une fonction Un dont le
graphe· est coincé dans un voisinage tubulaire peut se fâcher, se débattre
et avoir de tels soubresauts que sa dérivée peut devenir infinie.
1
EXEMPLE 12.21. - On définit Un = R 1-----+ IR par Un(x) = -sin nx. Les Un
n
convergent uniformément vers 0, (ilunlloo =~);ce sont des fonctions
dérivables et u~ ( x) = cos nx n'a pas de limite sauf si x = 2kn, auquel cas
u~(2kn) = 1 converge vers 1. En effet H = {nx + k(2n); (n,k) E l 2 }
est sous-groupe additif de IR, donc du type al ou partout dense dans IR,
(voir tome 2, exercice n° 1 du chapitre 5).
Si 2 :
l'image de H par la fonction continue cosinus est donc [-1, 1], et comme
elle est paire, l'ensemble des cos nx; n E N, est finalement partout dense
dans [-1, 1].
Analyse fonctionnelle
REMARQUE 12.19. - On peut concevoir la convergence uniforme à l'aide
des nouilles ou des sports d'hiver. Je m'explique, sinon vous allez croire
que je suis fou. Soit des fonctions ( Un)nEN de E dans F métrique qui
convergent uniformément vers u. On peut associer, e > 0 étant fixé,
la boule ouverte Bo(u(x),e) à chaque x de E et introduire la réunion
des Bo(u(x),e) pour x dans E, qui est une sorte de chenille, ou de
boudin, ou de macaroni (cuit, pour la souplesse), entourant le graphe
r = {(x, u(x)); X E E} de u : disons, plus mathématiquement, un
voisinage tubulaire.
Et avoir convergence uniforme, c'est associer, à chaque voisinage
tubulaire de ce type, (fonction de e > 0), un no de N tel que Vn ~no, le
graphe r n de Un soit coincé dans ce voisinage tubulaire.
Et les sports d'hiver ? Eh bien, imaginez une piste de descente avec
une porte, de largeur 2e, à franchir : tous les skieurs Un passant dans
cette porte « d'abscisse t » sont en train de faire de la convergence simple,
surtout si vous déplacez la porte le long de la piste ; et la convergence
uniforme, c'est quand on les oblige à descendre dans un couloir, (une piste
de bobsleigh par exemple).
Si ces images ne vous facilitent pas la compréhension de la convergence
simple, ou uniforme, elles peuvent toujours vous faire rêver et ce n'est déjà
pas si mal.
REMARQUE 12.20. - (La dernière). Et la dérivation dans tout cela? Eh
bien, rien! La convergence uniforme d'une suite de fonctions dérivables
n'implique rien. Intuitivement cela se conçoit : une fonction Un dont le
graphe· est coincé dans un voisinage tubulaire peut se fâcher, se débattre
et avoir de tels soubresauts que sa dérivée peut devenir infinie.
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EXEMPLE 12.21. - On définit Un = R 1-----+ IR par Un(x) = -sin nx. Les Un
n
convergent uniformément vers 0, (ilunlloo =~);ce sont des fonctions
dérivables et u~ ( x) = cos nx n'a pas de limite sauf si x = 2kn, auquel cas
u~(2kn) = 1 converge vers 1. En effet H = {nx + k(2n); (n,k) E l 2 }
est sous-groupe additif de IR, donc du type al ou partout dense dans IR,
(voir tome 2, exercice n° 1 du chapitre 5).
Si 2 :
l'image de H par la fonction continue cosinus est donc [-1, 1], et comme
elle est paire, l'ensemble des cos nx; n E N, est finalement partout dense
dans [-1, 1].