Espaces fonctionnels
n
En repartant de 12.15, avec n fixé,(;;?; no), x fixé dans E, si m tend
vers l'infini, on obtient d( Un { x), u( x)) ~ ê vu la continuité de la distance.
C'est encore:
Vê > 0, 3no, Vn;;?; no, Vx E E, d(un(x),u(x)) ~ ê
ce qui justifie la convergence uniforme des Un vers u.
•
REMARQUE 12.16. - Dire qu'une suite { Un)nEN conuerge uniformément
uers u, fonction de E dans F, reuient à dire que, pour n assez grand,
d(u,un) = sup d(u(x),un(x)) existe et que lim d(u,un) =O.
·
xEE
n~+oo
En effet, avoir, (on ne se lasse pas de l'écrire) :
Vê > 0, 3no, Vn;;?; no, Vx E E, d(u(x),un(x)) ~ ê
équivaut à avoir
\;;/g > 0, 3no, Vn;;?; no, sup{d(u(x),un(x));x E E} ~ ê
•
Dans le cas où F est un espace vectoriel normé, on pourra écrire, pour
n;;?; no, llu - unlloo = sup{llu(x) - un(x)ll,x E E} et dire que la suite
( Un)nEN converge uniformément vers u revient à dire que, pour n assez grand, u - Un est dans l'espace vectoriel des applications bornées de
E dans F, et que lim llu - unlloo =O. Cette norme, 11 llcx» s'appelle
n~+oo
12.17. norme de la conuergence uniforme, ou norme uniforme.
Il faut cependant remarquer que u et les Un peuvent fort bien ne pas
être bornées.
REMARQUE 12.18. - Dans le cas particulier d'une suite (un)nEN de fonctions de I, (intervalle de R) dans IR, la recherche d'une éventuelle convergence uniforme peut se faire en deux temps. L'étude de lim Un(t) =
·
n~+oo
u(t), au sens de la convergence simple, permet de déterminer la fonction
u vers laquelle il peut y avoir convergence uniforme, et l'étude des variations de u - Un permet de déterminer llu - unlloo, ou un majorant, pour
mettre en évidence une éventuelle convergence vers 0 de cette norme. A
moins ... à moins que la négation d'une des conséquences de la convergence
uniforme donne la non-convergence uniforme.
n
En repartant de 12.15, avec n fixé,(;;?; no), x fixé dans E, si m tend
vers l'infini, on obtient d( Un { x), u( x)) ~ ê vu la continuité de la distance.
C'est encore:
Vê > 0, 3no, Vn;;?; no, Vx E E, d(un(x),u(x)) ~ ê
ce qui justifie la convergence uniforme des Un vers u.
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REMARQUE 12.16. - Dire qu'une suite { Un)nEN conuerge uniformément
uers u, fonction de E dans F, reuient à dire que, pour n assez grand,
d(u,un) = sup d(u(x),un(x)) existe et que lim d(u,un) =O.
·
xEE
n~+oo
En effet, avoir, (on ne se lasse pas de l'écrire) :
Vê > 0, 3no, Vn;;?; no, Vx E E, d(u(x),un(x)) ~ ê
équivaut à avoir
\;;/g > 0, 3no, Vn;;?; no, sup{d(u(x),un(x));x E E} ~ ê
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Dans le cas où F est un espace vectoriel normé, on pourra écrire, pour
n;;?; no, llu - unlloo = sup{llu(x) - un(x)ll,x E E} et dire que la suite
( Un)nEN converge uniformément vers u revient à dire que, pour n assez grand, u - Un est dans l'espace vectoriel des applications bornées de
E dans F, et que lim llu - unlloo =O. Cette norme, 11 llcx» s'appelle
n~+oo
12.17. norme de la conuergence uniforme, ou norme uniforme.
Il faut cependant remarquer que u et les Un peuvent fort bien ne pas
être bornées.
REMARQUE 12.18. - Dans le cas particulier d'une suite (un)nEN de fonctions de I, (intervalle de R) dans IR, la recherche d'une éventuelle convergence uniforme peut se faire en deux temps. L'étude de lim Un(t) =
·
n~+oo
u(t), au sens de la convergence simple, permet de déterminer la fonction
u vers laquelle il peut y avoir convergence uniforme, et l'étude des variations de u - Un permet de déterminer llu - unlloo, ou un majorant, pour
mettre en évidence une éventuelle convergence vers 0 de cette norme. A
moins ... à moins que la négation d'une des conséquences de la convergence
uniforme donne la non-convergence uniforme.