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Analyse fonctionnelle
et comme le premier membre a une limite si x tend vers b- il vient
[1b u -1b Uni ~ ~·et ceci est valable pour chaque n ~no. C'est donc
que 1b u = lim 1b Un, ce qui achève la justification du théorème
a
n-++oo a
mm
•
REMARQUE 12.13. - L'extension au cas d'intégrales impropres sur un
intervalle non borné n'est pas possible.
Par exemple Un égale à ~ sur [O,n], à 0 sur [n+ ~,+oo[ et à
-t + n + ~ sur [ n, n + ~] , (pour n ~ 1) converge uniformément vers 0
sur [O, +oo[. Les Un et leur limite uniforme u sont intégrables sur [O, +oo[,
mais fo+oo Un = 1 + 2 ! 2 ne tend pas vers fo+oo u = O.
Autre exemple : vn(x) = .!. sur [1, n], -x + n + .!. sur [n, n + .!.] , 0
x
n
n
1
1
si x ~ n + - . Cette fois les Vn convergent uniformément vers v : x ~ - ,
sur [1, +oo~ mais ici li+oo v diverge.
~
REMARQUE 12.14. - Soit une suite (un)nEN de fonctions de E dans F
espace métrique complet. Il y a convergence uniforme si et seulement si on
peut appliquer le critère de Cauchy uniformément par rapport à x variant
dans E c'est-à-dire si et seulement si :
12.15.
't:/e > 0, 3no E N, 't:/n ~ no, 't:/m ~ no,
't:/x E E, d(un(x),um(x)) ~ e.
Car si les Un convergent uniformément vers u on a :
't:/e > 0, 3no, 't:/n ~no, 't:/x E E, d(u(x), un(x)) ~ e/2.
Par inégalité triangulaire, avec n ~ no et m ~ no on obtient 12.15. Et
si on dispose de 12.15, pour chaque x fixé de E, il en résulte que la suite
(un(x))nEN est de Cauchy dans F complet, donc convergente. Soit u(x)
sa limite, on détermine ainsi une fonction u de E dans F vers laquelle la
suite ( Un)nEN converge simplement.