Espaces fonctionnels
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THÉORÈME 12.12. - Soit [a, b[ un intervalle, (borné) de IR, et des fonctions
{ Un)neN de [a, b[ dans IR telles que les intégrales impropres lb Un convergent. Si la suite des Un converge uniformément vers u sur [a, b~ l'intégrale
impropre [b u converge et [bu = lira [b Un.
la
la
n~+oola
D'abord, sur chaque segment [a, x] C [a, b[, il y a convergence uniforme
des Un vers u qui est donc intégrable sur [a, x], (théorème 12.11).
Puis, soit
ê
e > 0, 3no, Vn ~no, Vt E [a, b[, iu(t) - un(t)i ~ 2 {b _a)·
A fortiori, pour x et x' avec a ~ x < x' < b, on aura
lix' ul = lix' (u - Uno) + ix' Unol ~ ix' lu- Unol + lix' Unol
~ 2{b ~a) (x' - x) + lix' Unol ~ ~ + lix' Unol
et ce pour tout x et tout x', avec a ~ x < x' < b.
Comme lb Uno converge, au même ê > 0 on associe xo E]a, b[ tel que
d'où l1x' ul ~ e: d'après le critère de Cauchy d'existence de lira_ {x u,
x
x~b la
on a bien convergence de l'intégrale impropre lb u.
Enfin, avec le même e > 0, le no associé, pour un n ~ no, (n fixé),
Vx E [a, b[ on aura :