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Analyse fonctionnelle
D'abord, les Un bornées convergeant uniformément vers u, la fonction
u est bornée, puis,
Ve> 0, 3no, Vn;;;: no, Vt E [a, b], lu(t) - un(t)I ~ e.
En particulier, pour no fixé, on aura, Vt E [a, b] :
Si d : xo = a < x1 < ... < Xp = b est une subdivision de [a, b],
en passant aux homes, (inférieure et supérieure) de u et Uno on obtient,
(avec les notations du chapitre 8, tome 2 en 8.3) :
et aussi
d'où
Après multiplication par Xi+l - Xi> 0, et sommation, il vient
0 ~ Bu(d) - Su(d) ~ 2e(b - a)+ Buno (d) - Su.no (d),
et ce pour toute subdivision d de [a, b]. Mais, comme Uno est intégrable,
il existe une subdivision d de [a, b] telle que Buno (d) - Su.no (d) ~ ê, d'où
0 ~ Bu(d) - Su(d) ~ ê{l + 2{b - a)).
Comme ê est quelconque, on a bien l'intégrabilité de u, (Théorème de
Darboux, 8.20, Thme 2).
Puis, toujours avec e > 0 et no tel que Vn ;;;: no, Vt E E,
lu(t) - Un(t)I ~ ê, on aura
l1b u(t)dt -1b Un(t)dtl ~ 1b lu(t) - Un(t)ldt ~ e(b - a)
d'où 1b u = lim 1b Un.
a
n-++oo a
•
Ce résultat s'applique aux intégrales impropres sur un intervalle
borné. Ona: