Espaces fonctionnels
73
On pourra appliquer la continuité de Un si ... on connaît Un. Il faut
donc fixer n indépendamment de t, on dit uniformément en t, et c'est la
convergence uniforme qui le permet.
Soit e > 0, 3no, Vn ~no, Vt E E, d(u(t),un(t)) ~ i·
On fixe n = no, on aura donc, Vt E E,
ê
d(u(to), u(t)) ~ 23 + d(un 0 (to), Un 0 (t)).
Puis Uno est continue en to, donc à e > 0 on associe un voisinage V ( to)
de to tel que Vt E V(to), d(un 0 (to), Un 0 (t)) ~ e/3 et finalement, à e > 0
on a associé un voisinage V(to) tel que Vt E V(to), d(u(to), u(t)) ~ e: la
limite uniforme, u, des Un continues est continue.
•
REMARQUE 12.8. - Si E est métrique et si les Un sont uniformément continues, et convergent uniformément vers u, la limite u est uniformément
continue. Je laisse au lecteur le soin d'adapter la justification.
REMARQUE 12.9. - Comme les fonctions continues de l'exemple 12.2
convergent simplement vers u non continue, dans cet exemple il n'y a
pas convergence uniforme, donc la convergence simple n'implique pas la
convergence uniforme.
THÉORÈME 12.10. - Soient des fonctions bornées (un)neN de E dans F
espace métrique, qui convergent uniformément vers u, la fonction u est
bornée.
Car pour e = 1 par exemple, il existe no tel que Vn ~ no, Vt E E,
d(u(t), Un(t)) ~ 1. Or la fonction Uno est bornée, donc il existe une boule
fermée B1(a, r) de F telle que Vt E E, Uno (t) E Bt (a, r). Mais alors, Vt
de Eon aura
d(a,u(t)) ~ d(a,un 0 (t)) + d(un 0 (t),u(t)) ~ r + 1
donc les u(t) sont dans B1(a, r + 1) : la fonction u est bornée.
•
THÉORÈME 12.11. - Soient des fonctions (un)neN intégrables au sens
de Riemann sur le segment [a, b] de IR, à valeurs réelles, qui convergent uniformément vers u. Alors la fonction u est intégrable sur [a, b] et
1 b u(t)dt = lim 1b Un(t)dt.
a
n-++oo a
Voir Tome 2, chapitre 8 les notions de Darboux et Riemann intégrables.
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On pourra appliquer la continuité de Un si ... on connaît Un. Il faut
donc fixer n indépendamment de t, on dit uniformément en t, et c'est la
convergence uniforme qui le permet.
Soit e > 0, 3no, Vn ~no, Vt E E, d(u(t),un(t)) ~ i·
On fixe n = no, on aura donc, Vt E E,
ê
d(u(to), u(t)) ~ 23 + d(un 0 (to), Un 0 (t)).
Puis Uno est continue en to, donc à e > 0 on associe un voisinage V ( to)
de to tel que Vt E V(to), d(un 0 (to), Un 0 (t)) ~ e/3 et finalement, à e > 0
on a associé un voisinage V(to) tel que Vt E V(to), d(u(to), u(t)) ~ e: la
limite uniforme, u, des Un continues est continue.
•
REMARQUE 12.8. - Si E est métrique et si les Un sont uniformément continues, et convergent uniformément vers u, la limite u est uniformément
continue. Je laisse au lecteur le soin d'adapter la justification.
REMARQUE 12.9. - Comme les fonctions continues de l'exemple 12.2
convergent simplement vers u non continue, dans cet exemple il n'y a
pas convergence uniforme, donc la convergence simple n'implique pas la
convergence uniforme.
THÉORÈME 12.10. - Soient des fonctions bornées (un)neN de E dans F
espace métrique, qui convergent uniformément vers u, la fonction u est
bornée.
Car pour e = 1 par exemple, il existe no tel que Vn ~ no, Vt E E,
d(u(t), Un(t)) ~ 1. Or la fonction Uno est bornée, donc il existe une boule
fermée B1(a, r) de F telle que Vt E E, Uno (t) E Bt (a, r). Mais alors, Vt
de Eon aura
d(a,u(t)) ~ d(a,un 0 (t)) + d(un 0 (t),u(t)) ~ r + 1
donc les u(t) sont dans B1(a, r + 1) : la fonction u est bornée.
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THÉORÈME 12.11. - Soient des fonctions (un)neN intégrables au sens
de Riemann sur le segment [a, b] de IR, à valeurs réelles, qui convergent uniformément vers u. Alors la fonction u est intégrable sur [a, b] et
1 b u(t)dt = lim 1b Un(t)dt.
a
n-++oo a
Voir Tome 2, chapitre 8 les notions de Darboux et Riemann intégrables.