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Analyse fonctionnelle
[ 1
1
1
r1
mais Jo Un = 2 · n + 1 · 2(n + 1) = 1, ne tend pas vers Jo u =O. Donc
lim hl Un =f hl (lim Un)·
EXEMPLE 12.5. - On indexe les rationnels de [O, 1] en une suite (qn)nEN
et on définit Un par un(t) = 1 si t E {qo, qi, ... , qn} et Un(t) = 0 sinon.
Il est facile de voir que les Un convergent simplement vers la restriction à
[O, 1] de la fonction caractéristique de Q. C'est une fonction non intégrable
sur [O, 1] alors que les Un le sont car en les modifiant sur un ensemble fini
elles deviennent constantes, voir tome 2, 8.12 et 8.33.
Finalement, la convergence simple est facile à exprimer mais elle ne
préserve pas la continuité, ni le fait d'être borné, ou intégrable.
Il faut donc définir un autre mode de convergence, ce sera la convergence uniforme, mais cette définition suppose l'espace d'arrivée des fonctions métriques, ce qui n'était pas le cas pour la convergence simple.
DÉFINITION 12.6. - Soit un ensemble E et un espace métrique F. Une
suite de fonctions ( un)nEN converge uniformément vers une fonction u de
E dans F si et seulement si on a :
\::/e > 0, 3N(e) EN, \::/n ~ N(e), \::/t E E, d(u(t), un(t)) :;;;; e.
Une remarque s'impose : si la suite ( un)nEN converge uniformément
vers u, on aura en particulier, pour chaque t de E :
\::/e > 0, 3N(e) EN, \::/n ~ N(e), d(u(t),un(t)):;;;; e,
d'où la convergence simples des Un vers u.
Par contre la convergence simple n'implique pas la convergence uniforme, comme on va le voir grâce aux théorèmes suivants.
THÉORÈME 12.7. - Soit une suite de fonctions continues, Un, de E
topologique dans F métrique qui converge uniformément vers u, la fonction
u est continue.
Soit to dans E. Pour comparer u(to) et u(t) on va« passer par» un(to)
et Un(t).
Ona:
d(u(to), u(t)):;;;; d(u(to), un(to)) + d(un(to), Un(t)) + d(un(t), u(t)).