Espaces fonctionnels
71
EXEMPLE 12.4. - E = [O, lj, F =IR, on définit Un sur [0, lj par
Un(t) = 4(n + 1) 2 t sur [ 0, 2 (n ~ l)] ,
un(t) = -4(n + 1) 2 (t - 2 (n ~ l)) + 2(n + 1) sur [ 2 (n ~ l), n: 1 ]
etun(t)=Osur [n: 1 ,1J.
Comme Un(O) = 0 pour tout n, lim un(O) = O.
n->+oo
1
Pour to > 0, 3no tel que - - 1 ~ to donc Vn ~ no, un(to) = 0
no+
d'où lim Un(to) = O. La suite des Un converge simplement vers la
n->+oo
fonction u = O. Cette fonction u, ainsi que chaque Un, est intégrable,