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Analyse fonctionnelle
0
1
Chaque Un(O) est nul donc lim Un(O) =O.
n--++oo
Si to > 0, 3no E N, ___!.__l ~ to, donc 'Vn ~ no, _!:_l ~ to d'où
no+
n+
un(to) = 1 sin~ no et lim un(to) = 1.
n--++oo
La suite des Un converge simplement vers u définie par u(O) = 0 et
u(t) = 1 sur JO, l].
On- constate que les Un sont continues, mais que kur limite au sens de
la convergence simple ne l'est pas.
EXEMPLE 12.3. - E =]0, l], F =IR, on définit Un par Un(t) = n + 1 sur
] o,_!:_ 1 ] etUn(t) =~sur [ - 1 -,1].
n+
t
n+ 1
1
Pour chaque to de ]O, l], 3no E N, - - 1 ~ to, donc 'Vn ~ no,
no+
Un(to) = ~ d'où lim un(to) = ~to
n--++oo
to
Il y a convergence simple de la suite des Un vers la fonction u définie
sur JO, 1] par u(t) = ~- On peut remarquer que chaque Un est bornée,
mais que la limite au sens de la convergence simple ne l'est pas.