CHAPITRE 12
Espaces fonctionnels
Dans ce chapitre on aborde une « topologie à tiroirs » car on va travailler sur des espaces topologiques dont les éléments sont des fonctions,
donc feront intervenir d'autres espaces topologiques.
1. Convergence simple, convergence uniforme
Soit E et F deux ensembles, on considère l'ensemble pE des applications de E dans F et on appelle suite de fonctions de E dans F, toute
application u de N dans pE.
Le terme général, Un, de cette suite est donc une application de E dans
F, qui est connue lorsque l'on sait définir chaque un(t) pour t variant dans
E.
DÉFINITION 12.l. - Soit une suite de fonctions ( un)nEN de E dans F,
l'ensemble F étant un espace topologique. On dit que la suite des Un
converge simplement vers la fonction u de E dans F, si et seulement si,
pour chaque to de Eon a lim un(to) = u(io).
n-++oo
Il convient de remarquer que la lettre u ne désigne plus ici la suite en
tant qu'application de N dans pE, mais bel et bien un élément de pE.
Un principe : la convergence simple est facile à mettre en place,
mais elle ne conserve pas les propriétés des fonctions, comme nous
allons le voir sur des exemples.
EXEMPLE 12.2. - E = [0, l], F = ~. on définit Un de [0, 1] dans ~ par
un(t) = (n + l)t sur [o, n ~- lJ, et un(t) = 1 sur [n: 1 , 1].