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Analyse fonctionnelle
21.
des fonctions implicites s'appliquera et donnera z = 1/J(x) avec 1/J fonction
dérivable (localement).
1er cas : Si on travaille toujours au voisinage de {O, 1) : si Xn = _! tend
n
vers 0, z(xn) tend vers 1, alors Un tend vers 1 : la série diverge; il en est
de même si on travaille au voisinage de {O, -1).
2ème cas: On résoud z ( *) toujours au voisinage de {0, 0).
D'abord z(x) = -y(x) est exclu car on aurait
x - y(x) - y 3 (x) = 0 et x + y(x) - y 3 (x) = 0,
d'où y(x) = 0 ce qui implique x = 0, or x = ! est non nul.
n
Puis l'identité x - 1/J(z) + tj; 3 (z) = 0 implique, en dérivant, la relation
1-tf;' +3tf;'tf; 2 =O. Comme tf;{O) = 0, il reste tf;'{O) = 1 donc z ( *) ,....., *·
Ona
y - z = x - y 3 - (x + z 3 ) = -(y 3 + z 3 ) = -(y+ z)(y 2 - yz + z 2 )
donc : ~ : = - [ (y - ~)
2 + 3 ~
2
] . Le crochet est équivalent à
1
3 d
1 lsé"di
- 4 2 + - 4 2 one Un ,....., - : a ne verge.
n
n
n
Il reste à traiter le cas général, ou quand n varie, on calcule z ( *) au
voisinage de (0, 0) ou de {O, 1) ou de {O, -1).
Si 3no, \:/n ~no, on calculez(*) au voisinage de {0,0) on est ramené au
2ème cas, et \:/n ~ no, un ,....., ! : il y a divergence.
n
La négation sera : \:/no, 3n1 ~ no, z ( : 1 ) calculé au voisinage de {O, 1)
ou de {O, -1) on a vu alors que un 1 est proche de 1, dans ce cas Un ne tend
pas vers 0, donc la série diverge. Il y a toujours divergence.
.
1 sin (7rvfn) 1
1
S1 a> 1, uni=
~ - : convergence absolue.
n°'
n°'
·
Sia ~ 0, nl°' ~ l,orsi (2k+~)7r ~ vfn7r ~ (2k+~)7rsoitsi
( 1)2
( 3)2
1
2k + 4 ~ n ~ 2k + 4 , on aura sin (7rvfn) ~ v'2"
( 3)2 ( 1)2
1
Comme 2k + 4 - 2k + 4 = 2k + 2", il y a de tels entiers pour
lesquels Un ~ ~, d'indice n arbitrairement grand : la série diverge car Un
ne tend pas vers O.