Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Si C > 0 et a> 0: n2Un = eCn"'(Log(Logn)-Logn)+2 Logn, l'exposant
s'écrit Cno. (-Logn +Log (Logn) + 2 ~~!n ). il tend vers -oo, donc
lim n 2 un = 0, la série converge.
n-+oo
Log (1 + nf3xn)
2) Etude de vn =
. Comme x > 0, la série est à termes
no.
positifs puisque 1 + nf3 xn > 1. On a nf3 xn = en Log x+f3 Log n et si x =fa 1,
l'exposant est équivalent à n Log x.
nf3xn
1er cas : 0 < x < 1, nf3 xn tend vers 0, Vn ,...., - - = xnnf3-o. et
no.
n 2 · xnnf3-o. =en Logx+C 2 +f3-o.)Logn tend vers 0, donc la série converge
quelques soient a et /3.
Log (1 + nf3) .
nf3
1 .
2ème cas : X = 1, Vn =
. S1 /3 < 0, Vn ,...., - = --(3 Il y a
no.
no.
no.convergence pour a - /3 > 1, divergence sinon.
Si /3 = 0, Vn = Log 2 converge pour a > 1.
no.
Si /3 > 0, Vn ,...., /3 Lo! n, série de Bertrand qui converge pour a > 1.
n
,
Log(xnnf3)
3eme cas: x > 1, alors Vn,....,
= Wn, avec
no.
Wn = n Logx + 13 Logn = Logx (l + _/3_. Logn)
no.
no.
no.-1
Logx
n
donc Wn ,...., Log xl : il y a convergence pour a > 2, (et pour tout /3),
no.divergence sinon.
20. Si on pose f(x,y) = x -y - y 3 , on a~ = -1 - 3y 2 , toujours différent
de 0, donc le théorème des fonctions implicites s'applique partout.
1
Comme Xn = - va tendre vers 0, on considère l'équation /(0, y) = 0 d'où
n
y(l + y 2 ) = 0 ·{::} y = O. Par le théorème des fonctions implicites en (0, 0)
on sait que (x, y) voisin de (0, O} et f(x, y) = 0 équivaut à y=

f(x, donc 1 -

Avec x-+O
n
n
Avecg(x,z}=x-z+z 3 , ~~ =-1+3z 2 .
Par ailleurs g(O, z) = 0 {::} z(l - z 2 ) = 0 {::} z = 0, 1 ou -1. En ces
trois points (0, 0); (0, 1} et (0, -1} on a ~~ =fa 0 donc là encore le théorème