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Analyse fonctionnelle
et
1
(p+l)
2 dx
(p 2 + 2p + 1)
- =Log
2
~ IYPI·
p2
X
p
Il uffitd . tifi l'" é alitéP 2 + 4 p+ 3 ~ P 2 + 2 p+l ( 1 .
s
eJus er m g
p 2 + 2 p "'
p 2
, vu a croissance
du Log) pour conclure, soit encore l'inégalité
p4 + 4p3 + 3p2 ~ p4 + 4p3 + 5p2 + 2p <::} 0 ~ 2p2 + 2p,
c'est bon. La série est donc convergente.
17. On a Pn = k <::} 10k-l ~ n < lOk. On somme par tranches de termes
associés à la même valeur k de Pn, c'est licite, les termes étant positifs. La
série est donc de même nature (et a même somme) que celle des
-
10
9 ~ (lO)k .
d'ou convergence <::} a < 1, et la somme vaut 10 . ~ a soit
10
9
a
9
10 1 _10=a-10·
a
k=l
18. On sait que lim (1 + - 2
1 + ... + .!. - Logn) = C, constante d'Euler
n-++oo
n
(voir comparaison des séries et des intégrales, exemple 11.21).
Ici on a:
(
1
1) ( . 1
1
1
1)
Un = 2 1 + 2 + ... + ;;: - 1 + 2 + · · · + ;;: + n + 1 + · · · + n2
= 2 ( 1 + 4 + ... + ~ - Logn) - ( 1 + 4 + ... + : 2 - Logn 2 )
donc lim Un = 2C - C = C.
n-++oo
19.
1) On a Un = eCn"'(Log (Logn)-Logn).
D'abord, si C = 0, Un = 1, la série diverge. On suppose donc C =f. O. Comme
Log (Log n) - Log n est équivalent à -Log n et tend vers -oo, on examine
le comportement de Cn°, suivant a.
.
(Logn) 0
Si C > 0, et a = 0 : Un =
c
: on a une série de Bertrand
n
convergente si et seulement si C > 1. (voir théorème 11.28).