Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
63
Or
tend vers +oo, (le terme général est équivalent à ~),donc an. tend vers 0
·
vk
et Un tend vers ai = ~·somme de la série. (Ceci prouve la convergence).
15. Soit cp(x) = Log l/(x)I, (on suppose que f ne s'annule pas pour x assez
grand, licite vu l'hypothèse).
Soit ê > 0 tel que k = >. + ê < 0, 3A, Vx ~ A, cp'(x) :i::; >. + ê = k
d'où cp(x) - cp(A) = Lx cp 1 (t)dt :i::; k(x - A), ou encore, Vx ~ A
Log l/(x)I :i::; kx + C avec C = cp(A) - kA constante.
Pour n assez grand, on a l/(n)I :i::; eCekn avec k < 0, donc n 2 1/(n)I tend
vers 0 : la série converge absolument.
16. Les Un = aE(Logn) étant positifs, on peut sommer «par paquets» en
associant les n tels que E(Logn) = p soit eP :i::; n < eP+ 1 .
Dans un tel paquet, Xp =
L aE(Logn), il y a un nombre de
n,E(Logn)=p
termes équivalents à eP+ 1 -eP, valant tous aP, donc Xp,...., aPeP(e-1) d'où
convergence si et seulement si ea < 1.
Pour Vn, on va aussi sommer par paquets de termes de signe constant. On a
Soit donc
_ ( )P ( 1
1
1
)
Yp - -1
p2+p2+1 + · · · + p2 + 2p .
La série des yp est de même nature que celle des Vn ; elle est alternée,
on alYPI ~ (2p + 1) · 1 2 , (il y a 2p + 1 termes majorés par 1 2 ), donc IYPI
p
p
tend vers O.
1
1n+l dx 1
Est-ce en décroissant? Oui car l'inégalité - - :i::;
- :i::; - donne
n+l
n
x
n
1
(p+2) 2 - 1 dx
p 2 + 4p + 3
IYp+l I :i::;
- = Log
2 2
(p+1)2-1 X
p + p