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Analyse fonctionnelle
14.
Ona
(
7ra
(4b-a 2 )7r
( 1 ))
Un = tg n7r + 2 +
8n
+ 0 n2
( 7r
(4b-a 2 )7r
(1))
= tg a2 + 8n + 0 n2 .
Si a =I= 2k, (k E Z), Un ne tend pas vers 0 : divergence;
.·
2
(4b-a 2 )7r
.
Sl a = 2k et 4b - a =/= 0, Un rv
S
: divergence;
n
-
si a = 2k et b = k 2 alors la série des Un est absolument convergente.
1+(-l)ntg 1
0
2(-l)ntg ~
2) On a Vn =
nl - 1 =
n 1 que l'on développe
1- (-l)ntg1- (-l)ntgn°'
n°'
par rapport à l'infiniment petit tg __!__.
n°'
On a Vn = 2(-l)ntg J_ + (2tg 2 1 ~) (1 + ê(n)), avec lim ê(n) =O.
n°'
n~
n-++oo
Comme 2(-l)ntgJ_ est le terme général d'une série alternée convergente,
n°'
et que (2 tg__!__) (1 +ê(n)) rv -2._ 2 , finalement la série des Vn converge si
n°'
n °'
et seulement si a> ~-Si a> 1, il y a convergence absolue.
0
Un+!
v'n'TI
. d
1"tè d
n a - - =
r.:-77> qw ten vers
, on peut penser au en re e
Un
l+vn+2
Raabe et Duhamel.
Or
1+
1
l _ Un+l = 1 + vn+2 - v'n'TI =
vn+2 + v'n'TI
1
Un
1 + Jn + 2
1 + Jn + 2
rv Vn
donc lim n (1 - Un+l) = +oo, en particulier 3no, Vn ~ no,
n-++oo
Un
Un+l
2 . Un+l
2
.
1 - - - ~ - soit - - ~ 1 - - : la séne converge.
Un
n
Un
n
0
Jnf (1+Jn+1 - Jn + 1)
n a Un =
= an - an+l en posant
(1 + v'i) ... (1 + fo)(l + Jn + 1)
Jnj'
n
an =
v'ï n. Vn . Donc Un = L Uk =ai - an+l·
(1 + 1) ... (1 + n)
k=l