Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
61
Comme 1 + ~ + ... + p ~ 1 -Log p tend vers une limite finie, on a finalement
lim (Logup + >.Logp) = l existe d'où lim. (upp>..) = e 1 =A> 0, et
P-+oo
p-+oo
A
Up
"'
À avec A > O.
P-+oo p
12. On a
Un= n: [e(l+k)(Logn+Log(l+;\-)) _ e(l-;\-)(Logn+Log(l-;\-))]
_ 1 ( Logn+Logn+o(Logn)
Logn-Logn+o(Logn))
_ _ e
n
n
-e
n
n
n°'
= e~=n (e Lojn+o(Lojn) _ e_Lor+o(Lor))
1
2 Logn
n-+oo n0<-l . --n-soit Un "' 2 Log n, série de Bertrand (termes positifs) d'où
n°'
(convergence) {::} (Cl! > 1).
Ona
1
Vn = --~ 1 ,---1 +tg y Logn
e1-ts;:;
1
e(1+2tg;\-+o(tg;\- ))Logn
1
1
eLogne(2tg;\-+o(tg;\-))Logn "';:;;
la série diverge.
C
a
. 1
"nfi .
. , . l
à a
omme - - a sm - = x est un i mment petit eqwva ent - 6 3 et que
n
n
n
1 - ex "' -x, on obtient Wn"' 6 - 3 a : il y a convergence si et seulement
n -p
sip < 2.
(
a
b )1/2
13. 1) Le terme 7r(n 2 +an+ b) 1 1 2 = 7rn 1 +;:;; + n 2
admet un développement limité de tout ordre en ..!:., donc Un = tg (7r(n 2 +an+ b) 1 1 2 )
n
aussi.
On prend un dév.eloppement limité final à l'ordre 1 : s'il est nul, Un est
0 ( : 2 ) : c'est le terme général d'une série absolument convergente.