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Analyse fonctionnelle
Il faut autre chose. On remarque que si Un --+ 0, Un "" sin Un d'où ici
Un"" sin ( Arcsin n 2 n: 1 ) cos ( Arcsin n 2 n: 2 )
- sin ( Arcsin n 2 n: 2 ) cos ( Arcsin n 2 n: 1 ) ,
Un "" n2n: 1 ( 1 - (n2:. 2)2) 1/2 - n2n: 2 ( 1 - (n2:. 1)2) 1/2
2
""
n
[(4n2 + 4)1/2 - (2n2 + 1)1/2] .
(n2 + l)(n 2 + 2)
Comme
(
1 ) 1/2
(
1 ) 1/2
(4n2 + 4)1/2 - (2n2 + 1)1/2 = 2n 1 + n2
- v'2n 1 + 2n2
"" (2 - v'2)n
(2- J2)
on a finalement Un ""
: la série diverge.
n--+oo
n
11.
La formule de Taylor Lagrange à l'ordre 2 pour f(x) =Log (1 + x) entre 0
et x s'écrit :
or f 11 (x) =
-l
est bornée sur tout voisinage de O. On a encore
(1 + x) 2
f(x) = x+x 2 u(x) avec lim u(x) = -- 2
1 . On applique avec x = -~ +vn,
x--o
n
il. existe des nombres an qui tendent vers - ~ tels que
Un+l
À
( 2
2À
). 2 )
Log - - = - - + Vn + Vn - -Vn + 2 an.
Un
n
n
n
Avec Wn = Vn + an ( v~ - 2 : Vn + ~:) on a bien le terme d'une série
absolument convergente puisque Vn l'est et que les an sont bornés.
On a donc
p-1
p-1
p-1
"'""'
Un+l
"'""' 1 "'""'
L.,, Log--= Logup - Logu1 = ->. L.,, - + L.,, Wn.
Un
n
n=l
n=l
n=l