9.
Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
59
d'où
1
1
2n 2 +3n+1
Log Pn = 2 + 2n -
12n3
+ Un
(n + 1)(2n + 1)
1
1
( 1)
avec lunl ~
6 n 3
Tl; c'est encore LogPn = 2 +an+ o :;;;
d'où
Pn = eLogPn = Jee/.ï+o(f;) =Ve ( 1 + 3~ + o (~)).
Donc lim Pn = Je et Pn - ..jë "' Vë 3 e
n-+oo
n-+oo n
x2
x3· x4
Partant de Log (1 + x) = x - 2" + 3 - 4 + o(x 4 ), on a
(
(-l)p-1)_(-l)p-1 _ _.!._ (-l)p-1 _.!._
Log 1 +
r,;;.
-
r,;;.
2 + 3 r,;;. + 2 Cp
vP
vP
P
PvP
P
avec la suite des Cp bornée puisque lim Cp = - - 4
1 .
P-+oo
Donc
(-l)p-l
( 1 )
ce qui tend vers -oo, les deux séries des
./f> et 0 p3/ 2 · étant
convergentes. Donc lim an = O.
n-+oo
1
1
Comme 1 + ' 2 + ... +:;;; = Logn + C + o(l), C constante d'Euler, on a
admet une limite si n tend vers l'infini, donc en passant aux exponentielles,
on obtient an ~ ~ avec l > 0, (ou lim Fnan = l > 0).
yn
n-+oo
10. On a lim Un= Arcsin 1-Arcsin 1 =O. Comme avec f(x) = Arcsinx,
n-+oo
f est la différence de deux valeurs de f pour des valeurs de x proches de
1, on peut penser, par les accroissements finis, avoir un équivalent de Un si
/ 1 (1) =PO. Or !'(x) = b tend vers l'infini six tend vers 1.
1-x